Calcule o ângulo theta entre os vetores A=2 imath+3 jmath-k e B=-imath+jmath+2 k. Dica: Para isso, utilize a definição de produto escalar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos dois vetores, A=2 imath + 3 jmath - k e B=-imath + jmath + 2 k. O objetivo é calcular o ângulo theta entre eles usando a definição de produto escalar. Para isso, precisaremos saber como calcular o produto escalar de dois vetores e as magnitudes de cada vetor.

Passo 2

A definição de produto escalar entre dois vetores A e B é dada por:
A cdot B = |A| , |B| costheta
Onde:
  • A cdot B é o produto escalar.
  • |A| e |B| são as magnitudes dos vetores A e B, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Para encontrar theta, vamos reorganizar a fórmula:
costheta = A cdot B|A| , |B|
E então, podemos calcular theta usando o arco-cosseno:
theta = arccos( A cdot B|A| , |B| )

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B. Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:
A cdot B = (2)(-1) + (3)(1) + (-1)(2) = -2 + 3 - 2 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores A e B.
Para A:
|A| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Para B:
|B| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, substituímos na fórmula do cosseno:
costheta = -1raiz14 times raiz6 = -1raiz84 approx -19.165
costheta approx -0.109

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, aplicamos o arco-cosseno:
theta = arccos(-0.109) approx 96.3^circ

Resposta

O ângulo theta entre os vetores A e B é aproximadamente 96,3^circ.

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