Considere as seguintes descrições da posição (em metros) de uma partícula que se move no plano x y :
r=(4 t^3-2) imath+3 jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula que está se movendo no plano xy, dada pela fórmula:
r = (4 t^3 - 2) imath + 3 jmath
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula em função do tempo t. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, que nos ajudam a determinar como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em termos simples, ela nos diz quão rápido e em que direção a partícula está se movendo em cada instante.
A posição está dada por:
r(t) = (4 t^3 - 2) imath + 3 jmath
Para encontrar a velocidade v(t), vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = ddt(4 t^3 - 2) imath + ddt(3) jmath
Calculando as derivadas:
ddt(4 t^3 - 2) = 12 t^2
ddt(3) = 0
Então, a velocidade é:
v(t) = 12 t^2 imath + 0 jmath = 12 t^2 imath

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, ela nos mostra como a velocidade está mudando a cada instante.
Já temos a velocidade:
v(t) = 12 t^2 imath
Vamos derivar essa expressão em relação a t para encontrar a aceleração a(t):
a(t) = dv(t)dt = ddt(12 t^2) imath
Calculando a derivada:
ddt(12 t^2) = 24 t
Então, a aceleração é:
a(t) = 24 t imath

Resposta

A velocidade da partícula é dada por:
v(t) = 12 t^2 imath
E a aceleração da partícula é:
a(t) = 24 t imath

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