Os módulos dos deslocamentos a e b são 3 m e 4 m , respectivamente, e c=a+b. Considerando as várias orientações possíveis de a e b, qual é o menor valor possível do módulo de c ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes de 3 metros e 4 metros respectivamente. Queremos encontrar o menor valor possível para a magnitude de , onde . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre adição de vetores e a desigualdade triangular, que nos ajuda a determinar os limites das magnitudes quando combinamos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar vetores. Quando somamos dois vetores, |c| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cos(theta) e , a magnitude do vetor resultante depende tanto das magnitudes dos vetores quanto do ângulo entre eles. A fórmula geral para a magnitude de é:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Para encontrar o menor valor possível de , precisamos minimizar essa expressão. Sabemos que o cosseno de um ângulo varia entre -1 e 1. O menor valor de ocorre quando é o menor possível, ou seja, . Isso acontece quando os vetores estão em direções completamente opostas.

Passo 4

Substituindo |c| = raiz3^2 + 4^2 + 2 cdot 3 cdot 4 cdot (-1) = raiz9 + 16 - 24 = raiz1 = 1 m na fórmula, temos:
Então, o menor valor possível para a magnitude de é 1 metro.

Resposta

O menor valor possível do módulo de é 1 metro.

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