Considere as seguintes descrições da posição (em metros) de uma partícula que se move no plano x y :
x=-3 t^2+4 t-2 e y=6 t^2-4 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula que se move no plano x(t) = -3t^2 + 4t - 2 , com as funções de posição dadas por:
y(t) = 6t^2 - 4t
Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente as derivadas, para encontrar velocidade e aceleração da partícula. Precisaremos derivar as funções de posição em relação ao tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Começamos com a componente vx(t) = dxdt :
x(t) = -3t^2 + 4t - 2
Vamos derivar ddt(-3t^2) = -6t :
ddt(4t) = 4
Derivando termo a termo:
ddt(-2) = 0
vx(t) = -6t + 4
Então, a velocidade na direção é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente vy(t) = dydt para encontrar a velocidade na direção y(t) = 6t^2 - 4t :
ddt(6t^2) = 12t
Derivando ddt(-4t) = -4 :
vy(t) = 12t - 4
Derivando termo a termo:
Então, a velocidade na direção é:

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Começamos com ax(t) = dvxdt :
ddt(-6t) = -6
Derivando ddt(4) = 0 :
ax(t) = -6
Então, a aceleração na direção é:

Passo 5

Agora, vamos derivar ay(t) = dvydt para encontrar a aceleração na direção ddt(12t) = 12 :
ddt(-4) = 0
Derivando ay(t) = 12 :
Então, a aceleração na direção é:

Resposta

A velocidade da partícula é dada por:
vx(t) = -6t + 4 m/s
vy(t) = 12t - 4 m/s
E a aceleração da partícula é constante, com:
ax(t) = -6 m/s^2
ay(t) = 12 m/s^2

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