Calcule o ângulo entre os vetores a+2 b-c e -a+b-2 c, sabendo-se que |a|=|b|= |c|=1 e a, b e c são mutuamente ortogonais.

Passo 1

Vamos calcular o ângulo entre os vetores a+2 b-c e -a+b-2 c. Esse exercício está dentro do estudo de vetores na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar e as propriedades de vetores ortogonais e de magnitude igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores envolvidos de u = a+2 b-c e v = -a+b-2 c. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre u e v.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre eles. Então, precisamos calcular o produto escalar u cdot v e as magnitudes |u| e |v|.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (a+2 b-c) cdot (-a+b-2 c)
Distribuindo o produto escalar:
= a cdot (-a) + a cdot b + a cdot (-2 c) + 2 b cdot (-a) + 2 b cdot b + 2 b cdot (-2 c) - c cdot (-a) - c cdot b + c cdot (-2 c)
Como a, b e c são mutuamente ortogonais, os produtos cruzados a cdot b, a cdot c e b cdot c são iguais a zero. Também sabemos que |a| = |b| = |c| = 1, então a cdot a = b cdot b = c cdot c = 1.
Simplificando:
= -1 + 0 + 0 + 0 + 2 cdot 1 + 0 + 0 + 0 -2 cdot 1 = -1 + 2 -2 = -1

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes |u| e |v|.
Para |u|:
|u| = raiz(a+2 b-c) cdot (a+2 b-c) = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Para |v|:
|v| = raiz(-a+b-2 c) cdot (-a+b-2 c) = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 6

Agora, usando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) Rightarrow -1 = raiz6 cdot raiz6 cdot cos(theta)
Simplificando:
-1 = 6 cdot cos(theta) Rightarrow cos(theta) = -16

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(-16)
Calculando:
theta approx 99,59^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores é aproximadamente 99,59 graus.

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