Calcule o ângulo entre os vetores
e
, sabendo-se que
e
e
são mutuamente ortogonais.
Passo 1
Vamos calcular o ângulo entre os vetores
e
. Esse exercício está dentro do estudo de vetores na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar e as propriedades de vetores ortogonais e de magnitude igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores envolvidos de
e
. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre
e
.
Passo 3
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde
é o ângulo entre eles. Então, precisamos calcular o produto escalar
e as magnitudes
e
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Distribuindo o produto escalar:
Como
,
e
são mutuamente ortogonais, os produtos cruzados
,
e
são iguais a zero. Também sabemos que
, então
.
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, usando a fórmula do produto escalar:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Calculando:
Resposta
O ângulo entre os vetores é aproximadamente
graus.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
expresse
como combinação linear de
.
Determine o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos
e
.
Considere os pontos
e
.
(a) O triângulo determinado pelos pontos é retângulo? Justifique.
(b) Determine a área do triângulo .
(a) O triângulo determinado pelos pontos
(b) Determine a área do triângulo
Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores
, onde
,
e
.