Determine o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A(1,-1,3) e B(2,2,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço: e . Queremos encontrar um ponto no eixo das ordenadas (que é o eixo ) que esteja à mesma distância de e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada por:

Passo 3

Como estamos procurando um ponto no eixo das ordenadas, ele terá a forma , já que no eixo as coordenadas e são iguais a zero.

Passo 4

Queremos que as distâncias de Distância de P a A: raiz(1 - 0)^2 + (-1 - y)^2 + (3 - 0)^2 a Distância de P a B: raiz(2 - 0)^2 + (2 - y)^2 + (1 - 0)^2 e de a sejam iguais. Vamos calcular essas duas distâncias usando a fórmula que vimos:
â
â

Passo 5

Igualando as duas distâncias:
raiz1^2 + (-1 - y)^2 + 3^2 = raiz2^2 + (2 - y)^2 + 1^2
Simplificando:
raiz1 + (y + 1)^2 + 9 = raiz4 + (2 - y)^2 + 1
raiz(y + 1)^2 + 10 = raiz(2 - y)^2 + 5

Passo 6

Agora, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(y + 1)^2 + 10 = (2 - y)^2 + 5

Passo 7

Expandindo os termos:
y^2 + 2y + 1 + 10 = 4 - 4y + y^2 + 5
Simplificando:
y^2 + 2y + 11 = y^2 - 4y + 9

Passo 8

Subtraindo 2y + 11 = -4y + 9 de ambos os lados para simplificar:

Passo 9

Agora, vamos reunir os termos com 2y + 4y = 9 - 11 de um lado e os constantes do outro:
6y = -2

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 6 para encontrar y = -26 = -13 :

Resposta

O ponto no eixo das ordenadas que está equidistante dos pontos e é .

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