Considere os pontos e .
(a) O triângulo determinado pelos pontos é retângulo? Justifique.
(b) Determine a área do triângulo .
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos três pontos no espaço tridimensional, , e . O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre triângulos no espaço. Para resolver as questões, vamos precisar calcular distâncias entre pontos e verificar propriedades de ângulos retos, além de usar fórmulas de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o triângulo formado pelos pontos , e é retângulo. Para isso, precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.
Passo 3
A distância entre dois pontos no espaço tridimensional e é dada pela fórmula:
Vamos calcular as distâncias , e .
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Para o triângulo ser retângulo, o quadrado de um dos lados deve ser igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (Teorema de Pitágoras). Vamos verificar:
Verificamos se algum dos lados satisfaz a igualdade :
Não satisfaz. Agora, verificamos :
Por fim, verificamos :
Passo 8
Nenhuma das igualdades é verdadeira, então o triângulo não é retângulo.
Passo 9
Agora, vamos determinar a área do triângulo . Podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional, que é:
Onde e são os vetores que representam os lados do triângulo, e representa o produto vetorial.
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
Passo 11
Agora, calculamos o produto vetorial :
= i(-2 + 12) - j(2 - 0) + k(-3 - 0)
= i(10) - j(2) + k(-3) = (10, -2, -3)
Passo 12
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| AB times AC | = raiz10^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz100 + 4 + 9 = raiz113
Passo 13
Finalmente, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 times raiz113 approx 12 times 10,63 approx 5,32 unidades de área Áá
Resposta
(a) Não, o triângulo ABC não é retângulo.
(b) A área do triângulo ABC é aproximadamente 5,32 unidades de área.