Considere os pontos A(2,4,1), B(3,3,5) e C(2,1,3).
(a) O triângulo determinado pelos pontos A B C é retângulo? Justifique.
(b) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos três pontos no espaço tridimensional, A(2,4,1), B(3,3,5) e C(2,1,3). O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre triângulos no espaço. Para resolver as questões, vamos precisar calcular distâncias entre pontos e verificar propriedades de ângulos retos, além de usar fórmulas de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o triângulo formado pelos pontos A, B e C é retângulo. Para isso, precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 3

A distância entre dois pontos no espaço tridimensional (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos calcular as distâncias AB, AC e BC.

Passo 4

Calculando AB:
AB = raiz(3 - 2)^2 + (3 - 4)^2 + (5 - 1)^2 = raiz1^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18

Passo 5

Calculando AC:
AC = raiz(2 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (3 - 1)^2 = raiz0^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz0 + 9 + 4 = raiz13

Passo 6

Calculando BC:
BC = raiz(2 - 3)^2 + (1 - 3)^2 + (3 - 5)^2 = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 7

Para o triângulo ser retângulo, o quadrado de um dos lados deve ser igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (Teorema de Pitágoras). Vamos verificar:
AB^2 = 18, AC^2 = 13, BC^2 = 9
Verificamos se algum dos lados satisfaz a igualdade AB^2 = AC^2 + BC^2:
18 stackrel?= 13 + 9 implies 18 = 22 (Falso)
Não satisfaz. Agora, verificamos AC^2 = AB^2 + BC^2:
13 stackrel?= 18 + 9 implies 13 = 27 (Falso)
Por fim, verificamos BC^2 = AB^2 + AC^2:
9 stackrel?= 18 + 13 implies 9 = 31 (Falso)

Passo 8

Nenhuma das igualdades é verdadeira, então o triângulo ABC não é retângulo.

Passo 9

Agora, vamos determinar a área do triângulo ABC. Podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional, que é:
Área = 12 | AB times AC | Á
Onde AB e AC são os vetores que representam os lados do triângulo, e times representa o produto vetorial.

Passo 10

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC:
AB = (3 - 2, 3 - 4, 5 - 1) = (1, -1, 4)
AC = (2 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (0, -3, 2)

Passo 11

Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k 1 & -1 & 4 0 & -3 & 2 = i((-1)(2) - (4)(-3)) - j((1)(2) - (4)(0)) + k((1)(-3) - (-1)(0))
= i(-2 + 12) - j(2 - 0) + k(-3 - 0)
= i(10) - j(2) + k(-3) = (10, -2, -3)

Passo 12

Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| AB times AC | = raiz10^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz100 + 4 + 9 = raiz113

Passo 13

Finalmente, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 times raiz113 approx 12 times 10,63 approx 5,32 unidades de área Áá

Resposta

(a) Não, o triângulo ABC não é retângulo.
(b) A área do triângulo ABC é aproximadamente 5,32 unidades de área.

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