Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w, onde u=(-1,2,3), v=(2,-1,3) e w=v times(u times v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto misto. Precisaremos calcular o vetor usando o produto vetorial e depois usar o produto misto para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor u = (-1, 2, 3) . Vamos calcular o produto vetorial interno v = (2, -1, 3) .
Dados:
u times v = i & j & k -1 & 2 & 3 2 & -1 & 3
u times v = (2 cdot 3 - 3 cdot (-1))i - ((-1) cdot 3 - 3 cdot 2)j + ((-1) cdot (-1) - 2 cdot 2)k
O produto vetorial u times v = (6 + 3)i - (-3 - 6)j + (1 - 4)k é calculado pela matriz:
u times v = 9i + 9j - 3k
Calculando os determinantes:
u times v = (9, 9, -3)
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular w = v times (9, 9, -3) . Já temos w = i & j & k 2 & -1 & 3 9 & 9 & -3 , então:
w = ((-1) cdot (-3) - 3 cdot 9)i - (2 cdot (-3) - 3 cdot 9)j + (2 cdot 9 - (-1) cdot 9)k
w = (3 - 27)i - (-6 - 27)j + (18 + 9)k
Calculando os determinantes:
w = (-24)i + 33j + 27k
w = (-24, 33, 27)
Então,

Passo 4

Agora que temos os três vetores V = |u cdot (v times w)| , v times w = i & j & k 2 & -1 & 3 -24 & 33 & 27 e v times w = ((-1) cdot 27 - 3 cdot 33)i - (2 cdot 27 - 3 cdot (-24))j + (2 cdot 33 - (-1) cdot (-24))k , podemos calcular o volume do paralelepípedo usando o produto misto, que é dado por:
v times w = (-27 - 99)i - (54 + 72)j + (66 - 24)k
Primeiro, vamos calcular v times w = (-126)i - 126j + 42k :
v times w = (-126, -126, 42)
Calculando os determinantes:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar u = (-1, 2, 3) :
v times w = (-126, -126, 42)
u cdot (v times w) = (-1)(-126) + 2(-126) + 3(42)
u cdot (v times w) = 126 - 252 + 126
u cdot (v times w) = 0

Resposta

O volume do paralelepípedo é 0.

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