Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores , onde , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores , e . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto misto. Precisaremos calcular o vetor usando o produto vetorial e depois usar o produto misto para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor . Vamos calcular o produto vetorial interno .
Dados:
O produto vetorial é calculado pela matriz:
Calculando os determinantes:
u times v = (9, 9, -3)
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular w = v times (9, 9, -3) . Já temos w = i & j & k 2 & -1 & 3 9 & 9 & -3 , então:
Agora que temos os três vetores V = |u cdot (v times w)| , v times w = i & j & k 2 & -1 & 3 -24 & 33 & 27 e v times w = ((-1) cdot 27 - 3 cdot 33)i - (2 cdot 27 - 3 cdot (-24))j + (2 cdot 33 - (-1) cdot (-24))k , podemos calcular o volume do paralelepípedo usando o produto misto, que é dado por:
v times w = (-27 - 99)i - (54 + 72)j + (66 - 24)k
Primeiro, vamos calcular v times w = (-126)i - 126j + 42k :
v times w = (-126, -126, 42)
Calculando os determinantes:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar u = (-1, 2, 3) :