Dados os vetores u=2 i, v=i+j+k e w=2 i+6 j+6 k expresse w como combinação linear de u e v.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o vetor w como uma combinação linear dos vetores u e v. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar encontrar os coeficientes que multiplicam u e v para chegar em w.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente dois vetores. Isso quer dizer que vamos expressar w como uma soma de múltiplos de u e v. Ou seja, queremos encontrar números a e b tais que:
w = a,u + b,v

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores dos vetores na equação. Temos:
  • u = 2,i
  • v = i + j + k
  • w = 2,i + 6,j + 6,k
Substituindo na expressão:
2,i + 6,j + 6,k = a(2,i) + b(i + j + k)

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes a e b:
2,i + 6,j + 6,k = (2a + b)i + b,j + b,k

Passo 5

Para que dois vetores sejam iguais, as componentes correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Componente de i: 2a + b = 2
  2. Componente de j: b = 6
  3. Componente de k: b = 6

Passo 6

Já sabemos que b = 6. Vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar a:
2a + 6 = 2

Passo 7

Resolvendo para a:
2a = 2 - 6 2a = -4 a = -2

Resposta

Portanto, o vetor w pode ser escrito como uma combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = -2,u + 6,v

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