Calcule o ângulo entre os vetores:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o ângulo entre dois vetores no espaço: e . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ângulo entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula do produto escalar:
Aqui, é o produto escalar, e são as magnitudes dos vetores, e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Isso é feito multiplicando as componentes correspondentes e somando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do ângulo:
Para encontrar , isolamos:
Simplificando :
Então:

Passo 6

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Calculando o valor numérico:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente 39,5 graus.

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