Calcule o ângulo entre os vetores: A=i+3 j+2 k ; B=2 i+5 j-k

Passo 1

Beleza, vamos calcular o ângulo entre dois vetores no espaço: A = i + 3j + 2k e B = 2i + 5j - k. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar e norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ângulo theta entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula do produto escalar:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Aqui, A cdot B é o produto escalar, |A| e |B| são as magnitudes dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B. Isso é feito multiplicando as componentes correspondentes e somando:
A cdot B = (1)(2) + (3)(5) + (2)(-1) = 2 + 15 - 2 = 15

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores A e B. A magnitude de um vetor V = ai + bj + ck é:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Para A:
|A| = raiz1^2 + 3^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14
Para B:
|B| = raiz2^2 + 5^2 + (-1)^2 = raiz4 + 25 + 1 = raiz30

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do ângulo:
15 = raiz14 cdot raiz30 cdot cos(theta)
Para encontrar cos(theta), isolamos:
cos(theta) = 15raiz14 cdot raiz30 = 15raiz420
Simplificando raiz420:
raiz420 = raiz4 cdot 105 = 2raiz105
Então:
cos(theta) = 152raiz105 = 15raiz1052 cdot 105 = raiz10514

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = cos^-1(raiz10514)
Calculando o valor numérico:
theta approx cos^-1(0,7746) approx 39,5^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 39,5 graus.

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