Demonstre que os vetores A=4 i-2 j+2 k, B=2 i-6 j-10 z, C=6 i-8 j-8 k formam os lados de triângulo reto.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos três vetores A=4 i-2 j+2 k, B=2 i-6 j-10 k e C=6 i-8 j-8 k. Precisamos demonstrar que eles formam os lados de um triângulo reto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como a verificação de perpendicularidade entre vetores através do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esses vetores realmente formam um triângulo. Para isso, a soma de dois vetores deve ser igual ao terceiro vetor. Vamos somar A e B:
A + B = (4 i - 2 j + 2 k) + (2 i - 6 j - 10 k) = 6 i - 8 j - 8 k
Observamos que A + B = C. Isso confirma que os vetores formam um triângulo.

Passo 3

Agora, para verificar se o triângulo é reto, precisamos checar se dois desses vetores são perpendiculares, ou seja, se o produto escalar entre eles é zero. Vamos calcular o produto escalar entre A e B:
A cdot B = (4)(2) + (-2)(-6) + (2)(-10) = 8 + 12 - 20 = 0

Passo 4

Como o produto escalar entre A e B é zero, isso significa que eles são perpendiculares. Portanto, o triângulo formado por esses vetores possui um ângulo reto.

Resposta

Os vetores A, B e C formam os lados de um triângulo reto.

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