Encontre o gradiente do campo escalar, em coordenadas retangulares varphi=x^2+x^3+x z+ x z y

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente de um campo escalar dado por em coordenadas retangulares. O gradiente é um conceito da matéria de cálculo vetorial que nos ajuda a entender como a função muda em cada direção. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o gradiente. O gradiente de nabla varphi = ( partial varphipartial x, partial varphipartial y, partial varphipartial z ) , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial varphipartial x = partialpartial x (x^2) + partialpartial x (x^3) + partialpartial x (xz) + partialpartial x (xyz) em relação a partialpartial x (x^2) = 2x . Isso significa que tratamos partialpartial x (x^3) = 3x^2 e partialpartial x (xz) = z como constantes:
partialpartial x (xyz) = yz
Calculando cada termo:
partial varphipartial x = 2x + 3x^2 + z + yz
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial varphipartial y = partialpartial y (x^2) + partialpartial y (x^3) + partialpartial y (xz) + partialpartial y (xyz) em relação a partialpartial y (x^2) = 0 . Aqui, tratamos partialpartial y (x^3) = 0 e partialpartial y (xz) = 0 como constantes:
partialpartial y (xyz) = xz
Calculando cada termo:
partial varphipartial y = xz
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial varphipartial z = partialpartial z (x^2) + partialpartial z (x^3) + partialpartial z (xz) + partialpartial z (xyz) em relação a partialpartial z (x^2) = 0 . Aqui, tratamos partialpartial z (x^3) = 0 e partialpartial z (xz) = x como constantes:
partialpartial z (xyz) = xy
Calculando cada termo:
partial varphipartial z = x + xy
Então:

Resposta

Portanto, o gradiente do campo escalar nabla varphi = ( 2x + 3x^2 + z + yz, ; xz, ; x + xy ) é dado por:

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