Obtenha o produto escalar e o produto vetorial entre os vetores A=5 i-3 j+2 k e B=4 i+j+ 3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, e para isso, vamos precisar das fórmulas do produto escalar e do produto vetorial. Os vetores que temos são:
A = 5,i - 3,j + 2,k
B = 4,i + j + 3,k

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar (ou produto ponto) entre os vetores. O produto escalar é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses resultados. A fórmula é:
A cdot B = Ax cdot Bx + Ay cdot By + Az cdot Bz
Vamos identificar as componentes:
Ax = 5, Ay = -3, Az = 2
Bx = 4, By = 1, Bz = 3
Agora, aplicando a fórmula:
A cdot B = (5)(4) + (-3)(1) + (2)(3)
= 20 - 3 + 6
= 23

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial (ou produto cruz) entre os vetores. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula é:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Vamos montar a matriz:
A times B = i cdot -3 & 2 1 & 3 - j cdot 5 & 2 4 & 3 + k cdot 5 & -3 4 & 1
Calculando os determinantes:
= i cdot ((-3)(3) - (2)(1)) - j cdot ((5)(3) - (2)(4)) + k cdot ((5)(1) - (-3)(4))
= i cdot (-9 - 2) - j cdot (15 - 8) + k cdot (5 + 12)
= i cdot (-11) - j cdot 7 + k cdot 17
= -11,i - 7,j + 17,k

Resposta

O produto escalar entre A e B é 23, e o produto vetorial é -11,i - 7,j + 17,k.

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