Os vetores que vão desde a origem até os pontos e D são:
Demonstre que as linhas e CD são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos.

Passo 1

Beleza, a gente tem quatro vetores que partem da origem até os pontos e . O objetivo aqui é mostrar que as linhas e são paralelas e descobrir qual é a razão entre os comprimentos delas. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e verificar se um é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam as linhas e .
O vetor vai de até , então é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor , que vai de até :

Passo 4

Para comprovar que as linhas e são paralelas, a gente precisa verificar se os vetores e são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número tal que:
Comparando os componentes dos vetores:
  • Na direção :
  • Na direção :
  • Na direção :
Como o mesmo valor funciona para todas as componentes, os vetores são múltiplos entre si. Portanto, as linhas e são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a razão entre os comprimentos das linhas e . Para isso, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores e :
  • Norma de :
  • Norma de :
A razão entre os comprimentos é:

Resposta

As linhas e são paralelas e a razão entre seus comprimentos é de .

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Os resultados das Questões 10-12 podem ser obtidos de maneira mais geral a partir do conceito de produção de entropia. Demonstre que a condição de estabilidade para um sistema que sofre flutuações químicas, térmicas e mecânicas pode ser escrita como
onde é variação da produção de entropia quando o sistema sai do estado de equilíbrio para um estado fora do equilíbrio devido a flutuação.
Considere um sistema cuja energia potencial em função da posição é dada pela seguinte expressão:
(a) Determine os pontos de equilíbrio do sistema. (b) Classifique os pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis. © Esboce o gráfico da energia potencial versus posição .
Dica: Para o esboço do gráfico, considere valores de entre -3 e 3 .
Demonstre que os vetores formam os lados de triângulo reto.
Calcule o ângulo entre os vetores: