Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C e D são:
& A=i+j+k & B=2 i+3 j & C=3 i+5 j-2 k & D=k-j
Demonstre que as linhas A B e CD são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos.

Passo 1

Beleza, a gente tem quatro vetores que partem da origem até os pontos e . O objetivo aqui é mostrar que as linhas e são paralelas e descobrir qual é a razão entre os comprimentos delas. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e verificar se um é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam as linhas AB = B - A = (2i + 3j) - (i + j + k) = i + 2j - k e .
O vetor vai de até , então é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor CD = D - C = (k - j) - (3i + 5j - 2k) = -3i -6j +3k , que vai de até :

Passo 4

Para comprovar que as linhas CD = lambda AB e -3 = lambda cdot 1 Rightarrow lambda = -3 são paralelas, a gente precisa verificar se os vetores -6 = lambda cdot 2 Rightarrow lambda = -3 e 3 = lambda cdot (-1) Rightarrow lambda = -3 são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número tal que:
Comparando os componentes dos vetores:
  • Na direção :
  • Na direção :
  • Na direção :
Como o mesmo valor funciona para todas as componentes, os vetores são múltiplos entre si. Portanto, as linhas e são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a razão entre os comprimentos das linhas |AB| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 e |CD| = raiz(-3)^2 + (-6)^2 + 3^2 = raiz9 + 36 + 9 = raiz54 = 3raiz6 . Para isso, calculamos as normas (comprimentos) dos vetores |CD||AB| = 3raiz6raiz6 = 3 e :
  • Norma de :
  • Norma de :
A razão entre os comprimentos é:

Resposta

As linhas e são paralelas e a razão entre seus comprimentos é de .

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