Calcule o ângulo entre os vetores u e v abaixo no produto interno indicado:
u=(1,-2), v=(4,2),lang<=, rang<= é o produto interno usual em R^2;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u = (1, -2) e v = (4, 2), e queremos encontrar o ângulo entre eles usando o produto interno padrão no R^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e como ele se relaciona com o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno (também conhecido como produto escalar) entre dois vetores. Para vetores no R^2, o produto interno de u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é calculado assim:
lang<= u, v rang<= = u1 cdot v1 + u2 cdot v2

Passo 3

Vamos calcular o produto interno dos vetores u e v:
lang<= u, v rang<= = (1) cdot (4) + (-2) cdot (2) = 4 - 4 = 0

Passo 4

Agora, precisamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores u e v. A norma de um vetor u = (u1, u2) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Vamos calcular as normas:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
|v| = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 5

Com o produto interno e as normas calculados, podemos encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores usando a fórmula:
costheta = lang<= u, v rang<=|u| cdot |v|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 0raiz5 cdot 2raiz5 = 02 cdot 5 = 0

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0)
Sabemos que arccos(0) = 90^circ.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é 90^circ.

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