Esboce a curva dada pela equação: 4 x^2+40 x+y^2-6 y+108=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente completando o quadrado para transformar a equação na forma padrão de uma cônica. Vamos precisar rearranjar os termos e completar o quadrado tanto para quanto para .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando os de 4x^2 + 40x + y^2 - 6y = -108 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de 4(x^2 + 10x) + y^2 - 6y = -108. Fatoramos o 4 do termos de :

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos metade do coeficiente de (102)^2 = 25, que é 10, e elevamos ao quadrado:
4(x^2 + 10x + 25 - 25) + y^2 - 6y = -108
Adicionamos e subtraímos 25 dentro do parênteses:
4((x + 5)^2 - 25) + y^2 - 6y = -108

Passo 5

Distribuímos o 4:
4(x + 5)^2 - 100 + y^2 - 6y = -108

Passo 6

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de (-62)^2 = 9. Pegamos metade do coeficiente de 4(x + 5)^2 - 100 + (y^2 - 6y + 9 - 9) = -108, que é -6, e elevamos ao quadrado:
4(x + 5)^2 - 100 + (y - 3)^2 - 9 = -108
Adicionamos e subtraímos 9:

Passo 7

Simplificamos os termos constantes:
4(x + 5)^2 + (y - 3)^2 - 109 = -108
4(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 1

Passo 8

Dividimos toda a equação por 1 para deixar na forma padrão:
(x + 5)^214 + (y - 3)^21 = 1

Resposta

A curva é uma elipse com centro no ponto , eixo maior ao longo do eixo com comprimento 2 e eixo menor ao longo do eixo com comprimento 1. Para esboçá-la, desenhe o centro, marque os pontos extremos nos eixos conforme os comprimentos e conecte em forma oval.

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