Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto específico chamado
é um subespaço vetorial de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais precisamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os requisitos para um conjunto ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: ou seja,
. - É fechado sob adição: se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também está em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Para esse vetor estar em
, o componente
deve ser inteiro. Aqui,
, que é um número inteiro, então
. Tudo certo por aqui!
Passo 4
Agora, a segunda condição: Fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde
e
são inteiros. Ao somar esses vetores, temos
. O componente
do vetor resultante é
. Como a soma de inteiros é inteira,
também é inteiro. Logo,
. Então, está fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, a terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar. Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, onde
é inteiro, e multiplicar por um escalar
. O resultado é
. Olhando o componente
, temos
. Aqui está o problema: se
não for um número inteiro,
pode não ser inteiro. Por exemplo, se
e
, então
, que não é inteiro. Portanto,
em geral.
Resposta
Como o conjunto
não é fechado sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de
.