Esboce a curva dada pela equação: x^2-2 x-2 y-5=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar a curva definida pela equação . Isso envolve matemática, mais especificamente o estudo das equações quadráticas e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para entender melhor a forma da curva e identificar características como o vértice.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar a equação com x^2 - 2x - 5 = 2y isolado, porque isso facilita na hora de desenhar o gráfico. Começa reorganizando os termos:
y = 12x^2 - x - 52
Agora, dividimos tudo por 2 para isolar o :

Passo 3

Agora que temos y = ax^2 + bx + c isolado, reconhecemos que essa é a equação de uma parábola. A forma geral de uma parábola vertical é:
No nosso caso, , , e . Como é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 4

Vamos achar o vértice da parábola, que é o ponto mais baixo já que a parábola abre para cima. A fórmula para a coordenada xv = -b2a do vértice é:
xv = --12 times 12 = 11 = 1
Substituindo os valores:
yv = 12(1)^2 - 1 - 52 = 12 - 1 - 52 = 1 - 2 - 52 = -62 = -3
Agora, substituímos na equação para achar :
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos achar o ponto de interseção com o eixo y substituindo y = 12(0)^2 - 0 - 52 = -52 na equação:
Então, a parábola corta o eixo y no ponto .

Passo 6

Para desenhar o esboço, precisamos de mais um ponto. Vamos escolher y = 12(2)^2 - 2 - 52 = 42 - 2 - 52 = 2 - 2 - 2.5 = -2.5:
Então, outro ponto é .

Passo 7

Com as informações coletadas:
  • Vértice:
  • Interseção com y:
  • Outro ponto:
Podemos desenhar a parábola abrindo para cima passando por esses pontos.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em , abrindo para cima, que corta o eixo y em e passa pelo ponto . O esboço da parábola fica assim:
Esboço da Parábola (Imagem ilustrativa)

Exercícios relacionados