Seja e consideremos a base
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um conjunto de três vetores no espaço tridimensional e me pediu para verificar se eles formam uma base. Depois disso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Para isso, vamos precisar entender conceitos de base, independência linear e o próprio Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores , e realmente formam uma base de . Para ser uma base, esses vetores precisam ser lineares e independentes e gerar todo o espaço .

Passo 3

Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Vamos montar a matriz:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são lineares e independentes, formando uma base de .

Passo 4

Agora que confirmamos que é uma base, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base. O objetivo é transformar os vetores em uma nova base onde todos são ortogonais entre si e têm comprimento 1.
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de , e :

Passo 5

Começamos definindo o primeiro vetor ortonormal . Para isso, normalizamos :

Passo 6

Em seguida, encontramos o segundo vetor . Primeiro, projetamos sobre e subtraímos essa projeção de para torná-lo ortogonal a :

Passo 7

Por último, vamos encontrar o terceiro vetor . Primeiro, projetamos sobre e e subtraímos essas projeções de para torná-lo ortogonal a ambos:

Resposta

A base ortonormalizada de obtida através do Processo de Gram-Schmidt é:

Exercícios relacionados

Verifique se a aplicação dada por é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl