Seja V=R^3 e consideremos a base
beta=nu1=(1,1,0), nu2=(2,0,1), nu3=(2,2,1)
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize beta através do Processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um conjunto de três vetores no espaço tridimensional R^3 e me pediu para verificar se eles formam uma base. Depois disso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Para isso, vamos precisar entender conceitos de base, independência linear e o próprio Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores nu1=(1,1,0), nu2=(2,0,1) e nu3=(2,2,1) realmente formam uma base de R^3. Para ser uma base, esses vetores precisam ser lineares e independentes e gerar todo o espaço R^3.

Passo 3

Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Vamos montar a matriz:
A = 1 & 2 & 2 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1
Agora, calculamos o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 1) - 2 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 0) + 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) det(A) = 1 cdot (-2) - 2 cdot (1) + 2 cdot (1) det(A) = -2 - 2 + 2 det(A) = -2
Como det(A) neq 0, os vetores são lineares e independentes, formando uma base de R^3.

Passo 4

Agora que confirmamos que beta é uma base, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base. O objetivo é transformar os vetores em uma nova base onde todos são ortogonais entre si e têm comprimento 1.
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de v1, v2 e v3:
v1 = nu1 = (1,1,0) v2 = nu2 = (2,0,1) v3 = nu3 = (2,2,1)

Passo 5

Começamos definindo o primeiro vetor ortonormal u1. Para isso, normalizamos v1:
u1 = v1|v1| |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 u1 = ( 1raiz2, 1raiz2, 0 )

Passo 6

Em seguida, encontramos o segundo vetor u2. Primeiro, projetamos v2 sobre u1 e subtraímos essa projeção de v2 para torná-lo ortogonal a u1:
Proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 v2 cdot u1 = 2 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 = 2raiz2 Proju1 v2 = 2raiz2 cdot ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) = (1, 1, 0) w2 = v2 - Proju1 v2 = (2,0,1) - (1,1,0) = (1, -1,1) u2 = w2|w2| |w2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3 u2 = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

Passo 7

Por último, vamos encontrar o terceiro vetor u3. Primeiro, projetamos v3 sobre u1 e u2 e subtraímos essas projeções de v3 para torná-lo ortogonal a ambos:
Proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 v3 cdot u1 = 2 cdot 1raiz2 + 2 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 = 4raiz2 = 2raiz2 Proju1 v3 = 2raiz2 cdot ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) = (2, 2, 0) Proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 v3 cdot u2 = 2 cdot 1raiz3 + 2 cdot -1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 = 1raiz3 Proju2 v3 = 1raiz3 cdot ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 ) = ( 13, -13, 13 ) w3 = v3 - Proju1 v3 - Proju2 v3 = (2,2,1) - (2,2,0) - ( 13, -13, 13 ) = ( -13, 13, 23 ) u3 = w3|w3| |w3| = raiz(-13)^2 + (13)^2 + (23)^2 = raiz19 + 19 + 49 = raiz69 = raiz23 = raiz63 u3 = ( -13 div raiz63, 13 div raiz63, 23 div raiz63 ) = ( -1raiz6, 1raiz6, 2raiz6 )

Resposta

A base ortonormalizada de R^3 obtida através do Processo de Gram-Schmidt é:
( 1raiz2, 1raiz2, 0 ), ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 ), ( -1raiz6, 1raiz6, 2raiz6 )

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