(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um conjunto de três vetores no espaço tridimensional e me pediu para verificar se eles formam uma base. Depois disso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Para isso, vamos precisar entender conceitos de base, independência linear e o próprio Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e realmente formam uma base de . Para ser uma base, esses vetores precisam ser lineares e independentes e gerar todo o espaço .
Passo 3
Uma maneira fácil de verificar a independência linear é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Vamos montar a matriz:
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são lineares e independentes, formando uma base de .
Passo 4
Agora que confirmamos que é uma base, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base. O objetivo é transformar os vetores em uma nova base onde todos são ortogonais entre si e têm comprimento 1.
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de , e :
Passo 5
Começamos definindo o primeiro vetor ortonormal . Para isso, normalizamos :
Passo 6
Em seguida, encontramos o segundo vetor . Primeiro, projetamos sobre e subtraímos essa projeção de para torná-lo ortogonal a :
Passo 7
Por último, vamos encontrar o terceiro vetor . Primeiro, projetamos sobre e e subtraímos essas projeções de para torná-lo ortogonal a ambos:
Resposta
A base ortonormalizada de obtida através do Processo de Gram-Schmidt é: