Verifique se a aplicação dada por é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a aplicação definida por é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de funções, injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares.

Passo 2

Verificando se é Injetora
Para uma função ser injetora, cada elemento distinto do domínio deve ser mapeado para elementos distintos do contradomínio. Ou seja, se , então .
Vamos supor que:
Das igualdades, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Isso mostra que mesmo com , podemos ter ou , ou seja, diferentes pares podem resultar no mesmo . Portanto, não é injetora.

Passo 3

Verificando se é Sobrejetora
Para uma função ser sobrejetora, todo elemento do contradomínio deve ser imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo , existe tal que .
Temos:
Isso implica que:
Da segunda equação:
Para existir real, . Porém, se , não há solução real para . Portanto, só atinge os pontos onde . Assim, nem todo ponto em é atingido, ou seja, não é sobrejetora.

Passo 4

Verificando se é Bijetora
Uma função é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como já vimos que não é injetora e não é sobrejetora, concluímos que não é bijetora.

Passo 5

Verificando se é uma Transformação Linear
Para ser uma transformação linear, ela deve satisfazer duas propriedades:
  1. para todos .
  2. para todo e .
Vamos testar a primeira propriedade com vetores e :
Até aqui, parece que a propriedade é satisfeita. Porém, vamos verificar a segunda propriedade com e :
Como e , não são iguais. Portanto, não é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação não é injetora, não é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.

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