Verifique se a aplicação F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(x^2+y^2, x) é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a aplicação definida por é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de funções, injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares.

Passo 2

Verificando se F(x1, y1) = F(x2, y2) é Injetora
Para uma função ser injetora, cada elemento distinto do domínio deve ser mapeado para elementos distintos do contradomínio. Ou seja, se (x1^2 + y1^2, x1) = (x2^2 + y2^2, x2) , então a^2 + y1^2 = a^2 + y2^2 .
Vamos supor que:
y1^2 = y2^2
y1 = y2 ou y1 = -y2
Das igualdades, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Isso mostra que mesmo com , podemos ter ou , ou seja, diferentes pares podem resultar no mesmo . Portanto, não é injetora.

Passo 3

Verificando se F(x, y) = (x^2 + y^2, x) = (a, b) é Sobrejetora
Para uma função ser sobrejetora, todo elemento do contradomínio deve ser imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo y^2 = a - b^2 , existe tal que .
Temos:
Isso implica que:
Da segunda equação:
Para existir real, . Porém, se , não há solução real para . Portanto, só atinge os pontos onde . Assim, nem todo ponto em é atingido, ou seja, não é sobrejetora.

Passo 4

Verificando se é Bijetora
Uma função é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como já vimos que não é injetora e não é sobrejetora, concluímos que não é bijetora.

Passo 5

Verificando se F(u + v) = F(1+0, 0+1) = F(1, 1) = (1^2 + 1^2, 1) = (2, 1) é uma Transformação Linear
Para F(u) + F(v) = F(1,0) + F(0,1) = (1^2+0^2, 1) + (0^2+1^2, 0) = (1,1) + (1,0) = (2,1) ser uma transformação linear, ela deve satisfazer duas propriedades:
  1. F(cu) = F(2*1, 2*1) = F(2,2) = (2^2 + 2^2, 2) = (8,2) para todos cF(u) = 2 * F(1,1) = 2 * (2,1) = (4,2) .
  2. para todo e .
Vamos testar a primeira propriedade com vetores e :
Até aqui, parece que a propriedade é satisfeita. Porém, vamos verificar a segunda propriedade com e :
Como e , não são iguais. Portanto, não é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação não é injetora, não é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.

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