Verifique se a aplicação
dada por
é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a aplicação
definida por
é injetora, sobrejetora, bijetora e se é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de funções, injeção, sobrejeção, bijeção e transformações lineares.
Passo 2
Verificando se
é Injetora
Para uma função ser injetora, cada elemento distinto do domínio deve ser mapeado para elementos distintos do contradomínio. Ou seja, se
, então
.
Vamos supor que:
Das igualdades, temos:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Isso mostra que mesmo com
, podemos ter
ou
, ou seja, diferentes pares
podem resultar no mesmo
. Portanto,
não é injetora.
Passo 3
Verificando se
é Sobrejetora
Para uma função ser sobrejetora, todo elemento do contradomínio deve ser imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo
, existe
tal que
.
Temos:
Isso implica que:
Da segunda equação:
Para existir
real,
. Porém, se
, não há solução real para
. Portanto,
só atinge os pontos
onde
. Assim, nem todo ponto em
é atingido, ou seja,
não é sobrejetora.
Passo 4
Verificando se
é Bijetora
Uma função é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como já vimos que
não é injetora e não é sobrejetora, concluímos que
não é bijetora.
Passo 5
Verificando se
é uma Transformação Linear
Para
ser uma transformação linear, ela deve satisfazer duas propriedades:
-
para todos . -
para todo e .
Vamos testar a primeira propriedade com vetores
e
:
Até aqui, parece que a propriedade é satisfeita. Porém, vamos verificar a segunda propriedade com
e
:
Como
e
, não são iguais. Portanto,
não é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é injetora, não é sobrejetora, não é bijetora e não é uma transformação linear.
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Calcule o ângulo entre os vetores
e
, onde
são tais que
Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço
.
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de
. Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.
Seja
Seja
e consideremos a base
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.
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