Calcule o ângulo entre os vetores u e v, sabendo-se que u+v+w=0 e |u|=2,|v|=3 e|w|=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o ângulo entre dois vetores, u e v. Sabemos que a soma desses dois vetores mais um terceiro vetor, w, resulta no vetor nulo: u + v + w = 0. Além disso, conhecemos os módulos dos vetores: |u| = 2, |v| = 3 e |w| = 4. Para resolver este problema, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

A equação dada é u + v + w = 0. Podemos rearranjar essa equação para expressar w em termos de u e v:
w = -(u + v)
Isso significa que o vetor w é o inverso da soma de u e v.

Passo 3

Sabemos que o módulo de um vetor a, representado por |a|, é a sua “tamanho” ou “comprimento”. Dado que |w| = 4, podemos escrever:
|w| = |(u + v)| = |u + v| = 4
Portanto, o módulo da soma dos vetores u e v é igual a 4.

Passo 4

A fórmula do módulo da soma de dois vetores u e v é dada por:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,u cdot v
Onde u cdot v é o produto escalar entre u e v. Vamos substituir os valores conhecidos nessa equação.

Passo 5

Sabemos que |u| = 2, |v| = 3 e |u + v| = 4. Substituindo na fórmula:
4^2 = 2^2 + 3^2 + 2,u cdot v
16 = 4 + 9 + 2,u cdot v

Passo 6

Agora, vamos resolver para o produto escalar u cdot v:
16 = 13 + 2,u cdot v
16 - 13 = 2,u cdot v
3 = 2,u cdot v
u cdot v = 32 = 1,5

Passo 7

O produto escalar também pode ser expresso em termos dos ângulos entre os vetores:
u cdot v = |u|,|v|,cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre u e v. Substituindo os valores que já conhecemos:
1,5 = 2 times 3 times cos(theta)
1,5 = 6,cos(theta)

Passo 8

Para encontrar cos(theta), isolamos a variável:
cos(theta) = 1,56 = 0,25
Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno (arccos):
theta = arccos(0,25)

Passo 9

Calculando o valor de theta:
theta approx arccos(0,25) approx 75,52^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 75,52^circ.

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