Calcule o ângulo entre os vetores
e
, sabendo-se que
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o ângulo entre dois vetores,
e
. Sabemos que a soma desses dois vetores mais um terceiro vetor,
, resulta no vetor nulo:
. Além disso, conhecemos os módulos dos vetores:
,
e
. Para resolver este problema, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
A equação dada é
. Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
e
:
Isso significa que o vetor
é o inverso da soma de
e
.
Passo 3
Sabemos que o módulo de um vetor
, representado por
, é a sua “tamanho” ou “comprimento”. Dado que
, podemos escrever:
Portanto, o módulo da soma dos vetores
e
é igual a 4.
Passo 4
A fórmula do módulo da soma de dois vetores
e
é dada por:
Onde
é o produto escalar entre
e
. Vamos substituir os valores conhecidos nessa equação.
Passo 5
Sabemos que
,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos resolver para o produto escalar
:
Passo 7
O produto escalar também pode ser expresso em termos dos ângulos entre os vetores:
Onde
é o ângulo entre
e
. Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 8
Para encontrar
, isolamos a variável:
Agora, para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno (arccos):
Passo 9
Calculando o valor de
:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine
para que o vetor
seja unitário.
Dados os vértices
e
de um paralelogramo
e
o ponto de interseção de suas diagonais determine os vértices
e
.
Dado o triângulo retângulo
com ângulo reto em
, determine a medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa
, sendo
e
.
Os pontos
e
formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado sobre o lado
.
(b) Obtenha, se possível, o valor de para que o vetor
seja colinear ao vetor projeção.
(a) Determine a projeção do lado
(b) Obtenha, se possível, o valor de