Os pontos A(2,1,-1), B(-1,3,1) e C(0,-1,2) formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado A B sobre o lado C A.
(b) Obtenha, se possível, o valor de c para que o vetor v=(3 c+4,-2,9) seja colinear ao vetor projeção.

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo formado pelos pontos , e . O exercício está dividindo em duas partes:
a) Encontrar a projeção do lado sobre o lado .
b) Verificar se é possível achar um valor de tal que o vetor seja colinear com a projeção que a gente encontrar no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como cálculo de vetores, projeção de um vetor sobre outro e condição de colinearidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (-1-2, 3-1, 1-(-1)) = (-3, 2, 2) e CA = A - C = (2-0, 1-(-1), -1-2) = (2, 2, -3) . Esses vetores representam os lados do triângulo que vamos trabalhar.
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a projeção do vetor Projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre o vetor . A fórmula para a projeção de sobre é:
Onde representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar AB cdot CA = (-3)(2) + (2)(2) + (2)(-3) = -6 + 4 -6 = -8 e CA cdot CA = (2)^2 + (2)^2 + (-3)^2 = 4 + 4 + 9 = 17 :
ProjCA AB = ( -817 ) CA = ( -817 ) (2, 2, -3) = ( -1617, -1617, 2417 )
Agora, aplicando na fórmula da projeção:

Passo 5

Agora, para a segunda parte, queremos que o vetor v = k cdot ProjCA AB seja colinear com a projeção que encontramos, ou seja:
3c + 4 = k cdot ( -1617 ) -2 = k cdot ( -1617 ) 9 = k cdot ( 2417 )
Para algum escalar .
Isso significa que cada componente de deve ser múltiplo da componente correspondente da projeção:
Vamos resolver essas equações para encontrar e verificar se existe um comum.

Passo 6

Primeiro, da segunda equação:
-2 = k cdot ( -1617 ) k = -2 cdot 17-16 = 3416 = 178
Agora, usando esse valor de 3c + 4 = 178 cdot ( -1617 ) = -2 3c = -2 - 4 3c = -6 c = -2 na primeira equação:
9 = 178 cdot ( 2417 ) = 3
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não existe um valor de que faça ser colinear com a projeção de sobre .

Resposta

(a) A projeção do lado sobre o lado é .
(b) Não existe um valor de que faça o vetor ser colinear à projeção calculada.

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