Os pontos e formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado sobre o lado .
(b) Obtenha, se possível, o valor de para que o vetor seja colinear ao vetor projeção.
Passo 1
Beleza! A gente tem um triângulo formado pelos pontos , e . O exercício está dividindo em duas partes:
a) Encontrar a projeção do lado sobre o lado .
b) Verificar se é possível achar um valor de tal que o vetor seja colinear com a projeção que a gente encontrar no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como cálculo de vetores, projeção de um vetor sobre outro e condição de colinearidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Esses vetores representam os lados do triângulo que vamos trabalhar.
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora, vamos calcular a projeção do vetor sobre o vetor . A fórmula para a projeção de sobre é:
Onde representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar e :
Agora, aplicando na fórmula da projeção:
Passo 5
Agora, para a segunda parte, queremos que o vetor seja colinear com a projeção que encontramos, ou seja:
Para algum escalar .
Isso significa que cada componente de deve ser múltiplo da componente correspondente da projeção:
Vamos resolver essas equações para encontrar e verificar se existe um comum.
Passo 6
Primeiro, da segunda equação:
Agora, usando esse valor de na primeira equação:
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não existe um valor de que faça ser colinear com a projeção de sobre .
Resposta
(a) A projeção do lado sobre o lado é .
(b) Não existe um valor de que faça o vetor ser colinear à projeção calculada.