Os pontos
e
formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado
sobre o lado
.
(b) Obtenha, se possível, o valor de
para que o vetor
seja colinear ao vetor projeção.
(a) Determine a projeção do lado
(b) Obtenha, se possível, o valor de
Passo 1
Beleza! A gente tem um triângulo formado pelos pontos
,
e
. O exercício está dividindo em duas partes:
a) Encontrar a projeção do lado
sobre o lado
.
b) Verificar se é possível achar um valor de
tal que o vetor
seja colinear com a projeção que a gente encontrar no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como cálculo de vetores, projeção de um vetor sobre outro e condição de colinearidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
. Esses vetores representam os lados do triângulo que vamos trabalhar.
Para encontrar
, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Para encontrar
, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a projeção do vetor
sobre o vetor
. A fórmula para a projeção de
sobre
é:
Onde
representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
e
:
Agora, aplicando na fórmula da projeção:
Passo 5
Agora, para a segunda parte, queremos que o vetor
seja colinear com a projeção que encontramos, ou seja:
Para algum escalar
.
Isso significa que cada componente de
deve ser múltiplo da componente correspondente da projeção:
Vamos resolver essas equações para encontrar
e verificar se existe um
comum.
Passo 6
Primeiro, da segunda equação:
Agora, usando esse valor de
na primeira equação:
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não existe um valor de
que faça
ser colinear com a projeção de
sobre
.
Resposta
(a) A projeção do lado
sobre o lado
é
.
(b) Não existe um valor de
que faça o vetor
ser colinear à projeção calculada.