Dados os vértices A(9,-5,12) e B(6,1,19) de um paralelogramo A B C D e P(4,-1,7) o ponto de interseção de suas diagonais determine os vértices C e D.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos os vértices e de um paralelogramo . Além disso, sabemos que o ponto é o ponto de interseção das diagonais desse paralelogramo. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vértices e .
Vamos precisar usar o conceito de que, em um paralelogramo, as diagonais se cortam exatamente no ponto médio uma da outra. Isso significa que o ponto é o ponto médio de ambas as diagonais e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto P( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . Sabemos que 4 = 9 + x2 é o ponto médio do segmento -1 = -5 + y2 . A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos 7 = 12 + z2 e é:
Aqui, queremos encontrar , então podemos montar as equações:

Passo 3

Vamos resolver essas equações uma por uma para encontrar 4 = 9 + x2 Rightarrow 9 + x = 8 Rightarrow x = 8 - 9 Rightarrow x = -1 , -1 = -5 + y2 Rightarrow -5 + y = -2 Rightarrow y = -2 + 5 Rightarrow y = 3 e 7 = 12 + z2 Rightarrow 12 + z = 14 Rightarrow z = 14 - 12 Rightarrow z = 2 .
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Passo 4

Então, as coordenadas do ponto 4 = 6 + x2 são -1 = 1 + y2 .
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto 7 = 19 + z2 . Sabemos que também é o ponto médio do segmento . Podemos usar a mesma fórmula do ponto médio para encontrar .
Temos e queremos encontrar , então:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar 4 = 6 + x2 Rightarrow 6 + x = 8 Rightarrow x = 8 - 6 Rightarrow x = 2 , -1 = 1 + y2 Rightarrow 1 + y = -2 Rightarrow y = -2 - 1 Rightarrow y = -3 e 7 = 19 + z2 Rightarrow 19 + z = 14 Rightarrow z = 14 - 19 Rightarrow z = -5 .
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Resposta

As coordenadas dos vértices são:
C(-1, 3, 2) e D(2, -3, -5)

Exercícios relacionados

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se u e v são vetores unitários que formam um ângulo de 60^circ, então os vetores u+2 v e 5 u-4 v são ortogonais.
(b) Os pontos A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) são coplanares.
© Os vetores u=2 i+j+3 k, v=-i+2 k e w=-2 i+7 j-k, nesta ordem, formam uma base positiva (ou um triedro positivo) com w ortogonal ao plano definido por u e v.
Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores u=(2,3,-1) e v=(1,1,2).
Determine alpha para que o vetor u=(raiz114,-12, alpha) seja unitário.
Calcule o ângulo entre os vetores u e v, sabendo-se que u+v+w=0 e |u|=2,|v|=3 e|w|=4.