Dado o triângulo retângulo A B C com ângulo reto em B, determine a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa A C, sendo A(0,0,2), B(3,-2,8) e C(-3,-5,10).

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo retângulo com ângulo reto em . Os pontos estão nas coordenadas , e . A nossa missão aqui é descobrir o tamanho da projeção do cateto sobre a hipotenusa . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores dos lados AB = B - A = (3 - 0,, -2 - 0,, 8 - 2) = (3, -2, 6) e AC = C - A = (-3 - 0,, -5 - 0,, 10 - 2) = (-3, -5, 8) . Fazendo isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro. A projeção de ProjAC AB = ( AB cdot AC|AC|^2 ) AC sobre é dada por:
Primeiro, precisamos calcular o produto escalar .

Passo 4

Calculando o produto escalar:
AB cdot AC = (3)(-3) + (-2)(-5) + (6)(8) = -9 + 10 + 48 = 49

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de |AC|^2 = (-3)^2 + (-5)^2 + 8^2 = 9 + 25 + 64 = 98 ao quadrado:

Passo 6

Com esses valores, podemos encontrar a magnitude da projeção:
Proj magnitude = 49raiz98 = 497raiz2 = 7raiz2 = 7raiz22

Resposta

A medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa é unidades.

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