Dado o triângulo retângulo com ângulo reto em , determine a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa , sendo e .

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo retângulo com ângulo reto em . Os pontos estão nas coordenadas , e . A nossa missão aqui é descobrir o tamanho da projeção do cateto sobre a hipotenusa . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores dos lados e . Fazendo isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro. A projeção de sobre é dada por:
Primeiro, precisamos calcular o produto escalar .

Passo 4

Calculando o produto escalar:

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de ao quadrado:

Passo 6

Com esses valores, podemos encontrar a magnitude da projeção:

Resposta

A medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule o ângulo entre os vetores e , sabendo-se que e .
Determine para que o vetor seja unitário.
Os pontos e formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado sobre o lado .
(b) Obtenha, se possível, o valor de para que o vetor seja colinear ao vetor projeção.
Considere os pontos e . Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Os pontos e são vértices de um tetraedro com volume igual a 6 u.v…
(b) O vetor é um representante do versor de .
© Os pontos e são colineares.