Calcule o ângulo entre os vetores
e
, sabendo que:
,
. e que o ângulo entre
e
é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma (ou comprimento dos vetores) e produto escalar. Precisaremos das fórmulas que relacionam essas normas e os ângulos entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos listar o que já sabemos:
-
-
-
- O ângulo entre
e é -
Vamos simplificar a última expressão:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado das normas para facilitar as contas:
Expandindo ambos os lados usando a propriedade
:
Calculando os dois lados:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 4
Vamos expressar os produtos escalares em termos das normas e dos ângulos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Dividindo todos os termos por 10:
Passo 6
Aqui, percebemos que temos uma relação entre
e
, mas sem mais informações sobre a relação entre
e
, não conseguimos resolver diretamente para
.
Solução Assumida:
Vamos assumir que os vetores
e
estão na mesma direção, ou seja,
. Assim,
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Resposta
O ângulo entre
e
é aproximadamente
radianos (ou cerca de
).