Calcule o ângulo entre os vetores v e w, sabendo que: |u|=|w|=5, |v|=1 e|u-v+w|=|w+v+w|. e que o ângulo entre u e v é -pi / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma (ou comprimento dos vetores) e produto escalar. Precisaremos das fórmulas que relacionam essas normas e os ângulos entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que já sabemos:
  • |w + v + w| = |2w + v|
  • |u - v + w| = |2w + v|
  • O ângulo entre e é
Vamos simplificar a última expressão:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado das normas para facilitar as contas:
|u - v + w|^2 = |2w + v|^2
Expandindo ambos os lados usando a propriedade (u - v + w) cdot (u - v + w) = (2w + v) cdot (2w + v) :
|u|^2 + |v|^2 + |w|^2 - 2u cdot v + 2u cdot w - 2v cdot w = 4|w|^2 + 4w cdot v + |v|^2
Calculando os dois lados:
25 + 1 + 25 - 2u cdot v + 2u cdot w - 2v cdot w = 100 + 4w cdot v + 1
Substituindo os valores conhecidos:
51 - 2u cdot v + 2u cdot w - 2v cdot w = 101 + 4w cdot v
Simplificando:
-2u cdot v + 2u cdot w - 6v cdot w = 50
Rearranjando:

Passo 4

Vamos expressar os produtos escalares em termos das normas e dos ângulos:
  • -2 cdot 5 cos(pi8) + 2 cdot 25 cos(thetauw) - 6 cdot 5 cos(theta) = 50
  • -10 cos(pi8) + 50 cos(thetauw) - 30 cos(theta) = 50
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar 50 cos(thetauw) = 50 + 10 cos(pi8) + 30 cos(theta) :
5 cos(thetauw) = 5 + cos(pi8) + 3 cos(theta)
Dividindo todos os termos por 10:

Passo 6

Aqui, percebemos que temos uma relação entre 5(1) = 5 + cos(pi8) + 3 cos(theta) e 5 = 5 + 0.92388 + 3 cos(theta) , mas sem mais informações sobre a relação entre 0 = 0.92388 + 3 cos(theta) e 3 cos(theta) = -0.92388 , não conseguimos resolver diretamente para cos(theta) = -0.30796 .
Solução Assumida:
Vamos assumir que os vetores e estão na mesma direção, ou seja, . Assim, .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Resposta

O ângulo entre e é aproximadamente radianos (ou cerca de ).

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