Considere a função tal que . Determine a função inversa de h, se existir.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de funções entre grupos cíclicos, especificamente trabalhando com aritmética modular. O problema nos dá uma função definida por . Nosso objetivo é encontrar a função inversa de , caso ela exista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma função inversa. Uma função inversa h^-1(h(x, y)) = (x, y) deve satisfazer que, ao compor com , obtemos a identidade, ou seja:
Isso significa que precisamos resolver as equações dadas por para expressar e em termos de e , onde .
Passo 3
Vamos reescrever as equações fornecidas pela função x' = x + 3 em Z5 :
y' = 6y + 2 em Z7
Nosso objetivo é isolar e nessas equações.
Passo 4
Começando com a primeira equação:
x' = x + 3 Rightarrow x = x' - 3
Em x = x' + 2 , subtrair 3 é o mesmo que adicionar o inverso de 3, que é 2, já que . Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação:
y' = 6y + 2 Rightarrow 6y = y' - 2
Para isolar , precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 6 em . Primeiro, encontramos o inverso de 6 em .
Passo 6
O inverso de 6 modulo 7 é o número 6 times 6 = 36 equiv 1 mod 7 tal que y = 6 times (y' - 2) = 6(y' - 2) . Testando os valores:
y = 6y' - 12 em Z7
Portanto, o inverso de 6 em y = 6y' + 2 é 6. Assim:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 7
Agora que encontramos expressões para h^-1(x', y') = (x' + 2, 6y' + 2) e em termos de e , podemos definir a função inversa :
Resposta
A função inversa de h^-1(x', y') = (x' + 2, 6y' + 2) é dada por: