Escreva uma equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas y=x+1, y=2 x+2 e y=-2 x+3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que passa pelos pontos de interseção das retas , e . Vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas retas se interceptam. Como temos três retas, teremos três pontos de interseção, um para cada par de retas.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção das retas x + 1 = 2x + 2 e 1 = x + 2 .
Igualando as duas equações:
x = -1
Subtraindo y = -1 + 1 = 0 de ambos os lados:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Então, o primeiro ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção das retas x + 1 = -2x + 3 e 3x + 1 = 3 .
Igualando as duas equações:
3x = 2
Somando x = 23 em ambos os lados:
y = 23 + 1 = 53
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Substituindo na primeira equação para encontrar :
Então, o segundo ponto de interseção é .

Passo 5

Vamos agora encontrar a interseção das retas 2x + 2 = -2x + 3 e 4x + 2 = 3 .
Igualando as duas equações:
4x = 1
Somando x = 14 em ambos os lados:
y = 2(14) + 2 = 12 + 2 = 52
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
Substituindo na primeira equação para encontrar :
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 , e , vamos determinar a equação da circunferência que passa por esses pontos.
A equação geral da circunferência é:
onde são as coordenadas do centro e é o raio.

Passo 7

Vamos substituir cada ponto na equação da circunferência para obter um sistema de equações.
Para o ponto (-1 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2 :
(23 - h)^2 + (53 - k)^2 = r^2
Para o ponto (14 - h)^2 + (52 - k)^2 = r^2 :
Para o ponto :

Passo 8

Temos agora três equações com três incógnitas ( ). Vamos simplificar essas equações para encontrar e .
Expandindo as equações:

Passo 9

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (h - 23)^2 - (h + 1)^2 + (k - 53)^2 - k^2 = 0 :
- 103h - 103k + 299 = 0
Resolvendo:
-30h -30k +29 = 0
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
h + k = 2930
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos subtrair a primeira equação da terceira:
(h - 14)^2 - (h +1)^2 + (k - 52)^2 -k^2 =0
Resolvendo:
8h +16k =17
Simplificando:
h +2k = 178

Passo 11

Temos agora o sistema de equações:
h + k = 2930 h + 2k = 178
Subtraindo a primeira equação da segunda:
k = 139120
Substituindo h = -23120 na primeira equação:

Passo 12

Com (-1 - (-23120))^2 + (0 - 139120)^2 = r^2 e (-97120)^2 + (-139120)^2 = r^2 , vamos encontrar 940914400 + 1932114400 = r^2 substituindo na primeira equa��ão:
2873014400 = r^2
Calculando:
r = raiz2873014400 = raiz28730120

Passo 13

Agora, temos todos os valores necessários para a equação da circunferência:
(x + 23120)^2 + (y - 139120)^2 = 2873014400

Resposta

(x + 23120)^2 + (y - 139120)^2 = 2873014400

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