Escreva uma equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que passa pelos pontos de interseção das retas
,
e
. Vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas retas se interceptam. Como temos três retas, teremos três pontos de interseção, um para cada par de retas.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção das retas
e
.
Igualando as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então, o primeiro ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção das retas
e
.
Igualando as duas equações:
Somando
em ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Substituindo
na primeira equação para encontrar
:
Então, o segundo ponto de interseção é
.
Passo 5
Vamos agora encontrar a interseção das retas
e
.
Igualando as duas equações:
Somando
em ambos os lados:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
Substituindo
na primeira equação para encontrar
:
Então, o terceiro ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção:
,
e
, vamos determinar a equação da circunferência que passa por esses pontos.
A equação geral da circunferência é:
onde
são as coordenadas do centro e
é o raio.
Passo 7
Vamos substituir cada ponto na equação da circunferência para obter um sistema de equações.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 8
Temos agora três equações com três incógnitas (
). Vamos simplificar essas equações para encontrar
e
.
Expandindo as equações:
Passo 9
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Resolvendo:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos subtrair a primeira equação da terceira:
Resolvendo:
Simplificando:
Passo 11
Temos agora o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 12
Com
e
, vamos encontrar
substituindo na primeira equa��ão:
Calculando:
Passo 13
Agora, temos todos os valores necessários para a equação da circunferência: