Seja f: A B uma função e sejam P e Q subconjuntos de A. Mostre que:
f(P)-f(Q) subseteq f(P-Q).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de funções e conjuntos, partes da matemática conhecidas como Teoria dos Conjuntos e Funções. A gente vai precisar entender o que é a imagem de um conjunto sob uma função e como manipular essas imagens para provar que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa f(P) = f(x) mid x in P e . Quando a gente aplica uma função a um conjunto , a imagem é o conjunto de todos os valores que assume nos elementos de . Ou seja:
O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, f(P) - f(Q) = y in f(P) mid y notin f(Q) representa a diferença entre as imagens de e . Isso quer dizer que estamos pegando todos os elementos que estão em mas não estão em :
E queremos mostrar que todo esse conjunto está dentro de , que é a imagem do conjunto . O conjunto contém todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 4

Vamos provar que se está em , então está em .
  1. Seja : Isso significa que existe algum tal que e não está em .
  2. Como não está em , não existe nenhum com .
  3. Logo, o que mapeia para não pode estar em , porque se estivesse, então estaria em , o que não é o caso.
  4. Portanto, está em e não está em , ou seja, .
  5. Assim, está em .

Resposta

Concluímos que . Ou seja, toda imagem dos elementos que estão em mas não em certamente está dentro da imagem da diferença .

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