Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de funções e conjuntos, partes da matemática conhecidas como Teoria dos Conjuntos e Funções. A gente vai precisar entender o que é a imagem de um conjunto sob uma função e como manipular essas imagens para provar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
e
. Quando a gente aplica uma função
a um conjunto
, a imagem
é o conjunto de todos os valores que
assume nos elementos de
. Ou seja:
O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora,
representa a diferença entre as imagens de
e
. Isso quer dizer que estamos pegando todos os elementos que estão em
mas não estão em
:
E queremos mostrar que todo esse conjunto está dentro de
, que é a imagem do conjunto
. O conjunto
contém todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 4
Vamos provar que se
está em
, então
está em
.
- Seja
: Isso significa que existe algum tal que e não está em . - Como
não está em , não existe nenhum com . - Logo, o
que mapeia para não pode estar em , porque se estivesse, então estaria em , o que não é o caso. - Portanto,
está em e não está em , ou seja, . - Assim,
está em .
Resposta
Concluímos que
. Ou seja, toda imagem dos elementos que estão em
mas não em
certamente está dentro da imagem da diferença
.