Calcule os ângulos internos dos triângulos cujos vértices são:
(2,-1),(7,-1) e (7,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os ângulos internos de um triângulo cujos vértices são os pontos (2, −1), (7, −1) e (7, 3). Para resolver isso, vamos usar geometria analítica para encontrar os lados do triângulo e, em seguida, aplicar a Lei dos Cossenos para achar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos do triângulo:
  • Ponto A: (2, −1)
  • Ponto B: (7, −1)
  • Ponto C: (7, 3)
Precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para encontrar os lados do triângulo: AB, BC e AC.

Passo 3

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Vamos aplicar isso para encontrar cada lado.

Passo 4

Calculando a distância AB:
  • AB = raiz(7 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2 = raiz5^2 + 0^2 = raiz25 = 5 e
Então, AB = 5 unidades.

Passo 5

Calculando a distância BC:
  • BC = raiz(7 - 7)^2 + (3 - (-1))^2 = raiz0^2 + 4^2 = raiz16 = 4 e
Então, BC = 4 unidades.

Passo 6

Calculando a distância AC:
  • AC = raiz(7 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = raiz5^2 + 4^2 = raiz25 + 16 = raiz41 approx 6,40 e
Então, AC ≈ 6,40 unidades.

Passo 7

Agora, com os lados conhecidos, vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos. A Lei dos Cossenos estabelece que:
cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^22bc
onde é o ângulo oposto ao lado .
Vamos calcular o ângulo em cada vértice.

Passo 8

Calculando o ângulo em A:
Usando a Lei dos Cossenos:
cos(A) = AB^2 + AC^2 - BC^22 cdot AB cdot AC = 5^2 + 6,40^2 - 4^22 cdot 5 cdot 6,40
Calculando os valores:
cos(A) = 25 + 41 - 1664 = 5064 = 0,78125
Agora, encontramos o ângulo:
A = cos^-1(0,78125) approx 38,24°

Passo 9

Calculando o ângulo em B:
Usando a Lei dos Cossenos:
cos(B) = AB^2 + BC^2 - AC^22 cdot AB cdot BC = 5^2 + 4^2 - 6,40^22 cdot 5 cdot 4
Calculando os valores:
cos(B) = 25 + 16 - 4140 = 040 = 0
Isso significa que:
B = cos^-1(0) = 90°
Então, o ângulo em B é de 90°, indicando que o triângulo é retângulo.

Passo 10

Calculando o ângulo em C:
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Já temos dois ângulos:
C = 180° - A - B = 180° - 38,24° - 90° = 51,76°

Resposta

Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente:
  • Ângulo em A: 38,24°
  • Ângulo em B: 90°
  • Ângulo em C: 51,76°

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