Calcule as expressões vetoriais abaixo.
|v-2 u|^2 v-(-8 w+|v|^2 u)(w-12 v+u), onde u=(-1,0,-15), v=(-4,-7,2) e w=(25,3,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma expressão vetorial envolvendo três vetores: u, v e w. O conteúdo que vamos usar aqui é Algebra Vetorial, especificamente operações com vetores como soma, subtração e multiplicação por escalares, além do cálculo de módulos (ou normas) dos vetores. Para resolver, vamos precisar:
  1. Calcular a diferença entre vetores.
  2. Encontrar o módulo (comprimento) de um vetor.
  3. Multiplicar vetores por escalares.
  4. Realizar as operações de soma e subtração entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
u = (-1, 0, -15), v = (-4, -7, 2), w = (25, 3, 3)

Passo 3

Vamos calcular |v|, que é o módulo da vetor v. A fórmula para o módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando para v:
|v| = raiz(-4)^2 + (-7)^2 + 2^2 = raiz16 + 49 + 4 = raiz69

Passo 4

Agora, vamos calcular v - 2u. Primeiro, multiplicamos u por 2:
2u = 2 times (-1, 0, -15) = (-2, 0, -30)
Agora, subtraímos esse resultado de v:
v - 2u = (-4, -7, 2) - (-2, 0, -30) = (-4 + 2, -7 - 0, 2 + 30) = (-2, -7, 32)

Passo 5

Vamos calcular o módulo desse vetor v - 2u:
|v - 2u| = raiz(-2)^2 + (-7)^2 + 32^2 = raiz4 + 49 + 1024 = raiz1077
Elevando ao quadrado:
|v - 2u|^2 = 1077

Passo 6

Agora, vamos calcular a primeira parte da expressão:
|v - 2u|^2 v = 1077 times v = 1077 times (-4, -7, 2) = (-4308, -7539, 2154)

Passo 7

Vamos para a segunda parte da expressão: -8w + |v|^2u.
Primeiro, multiplicamos w por -8:
-8w = -8 times (25, 3, 3) = (-200, -24, -24)
Agora, calculamos |v|^2 u. Já sabemos que |v| = raiz69, então:
|v|^2 = 69
Multiplicando por u:
69 times u = 69 times (-1, 0, -15) = (-69, 0, -1035)
Agora, somamos as duas partes:
-8w + |v|^2u = (-200, -24, -24) + (-69, 0, -1035) = (-269, -24, -1059)

Passo 8

Agora, vamos multiplicar esse resultado pelo vetor (w - 12v + u).
Primeiro, calculamos 12v:
12v = 12 times (-4, -7, 2) = (-48, -84, 24)
Agora, calculamos w - 12v:
w - 12v = (25, 3, 3) - (-48, -84, 24) = (25 + 48, 3 + 84, 3 - 24) = (73, 87, -21)
Agora, adicionamos u:
w - 12v + u = (73, 87, -21) + (-1, 0, -15) = (72, 87, -36)

Passo 9

Agora, multiplicamos os vetores (-269, -24, -1059) e (72, 87, -36). Aqui, a multiplicação de vetores mencionada é o produto escalar (também conhecido como produto interno), que é a soma dos produtos correspondentes dos componentes.
(-269) times 72 + (-24) times 87 + (-1059) times (-36)
Calculando cada termo:
-269 times 72 = -19368
-24 times 87 = -2088
-1059 times -36 = 38124
Somando tudo:
-19368 - 2088 + 38124 = 16668

Passo 10

Agora, voltamos à expressão original combinando as duas partes calculadas:
|v - 2u|^2 v - ( -8w + |v|^2u )(w - 12v + u) = (-4308, -7539, 2154) - 16668
Aqui, notamos que a segunda parte resultou em um escalar (16668), mas estamos tentando subtrair um escalar de um vetor, o que não é uma operação válida. Isso indica que houve uma interpretação incorreta da expressão original.
Vamos revisar a expressão original:
|v - 2u|^2 v - ( -8w + |v|^2u )(w - 12v + u)
Parece que a segunda parte está representando o produto escalar entre dois vetores. Se for o caso, a expressão final seria um vetor menos um escalar, o que não faz sentido. Provavelmente, a expressão deveria ser interpretada como o produto de um vetor por um escalar na segunda parte. Vamos reconsiderar.

Passo 11

Interpretando que a segunda parte é a multiplicação de um escalar pelo vetor, ou seja:
( -8w + |v|^2u ) cdot (w - 12v + u) = Produto Escalar
Calculamos isso como fizemos anteriormente e obtivemos 16668. Agora, a expressão completa seria:
|v - 2u|^2 v - 16668
Ainda assim, não podemos subtrair um escalar de um vetor. A expressão original provavelmente está faltando algo ou foi interpretada de forma diferente. Sem mais informações, não é possível concluir corretamente.

Resposta

Não foi possível calcular a expressão vetorial dada devido a uma inconsistência na interpretação das operações entre vetores e escalares na expressão original.

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