Prove que:
|u+v|=|u-v| Leftrightarrow os vetores são perpendiculares

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação que diz que a magnitude da soma de dois vetores é igual à magnitude da diferença dos mesmos vetores se e somente se eles forem perpendiculares. Vamos usar conceitos de vetores e produto interno (ou produto escalar) para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude de um vetor. Se temos um vetor a, a magnitude é dada por |a| = raiza cdot a. Aqui, a cdot a representa o produto escalar do vetor consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular as magnitudes de u + v e u - v. Usando a fórmula da magnitude:
|u + v| = raiz(u + v) cdot (u + v)
|u - v| = raiz(u - v) cdot (u - v)

Passo 4

Vamos expandir os produtos escalares:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v
(u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v

Passo 5

Como a gente quer que |u + v| = |u - v|, vamos igualar as expressões dentro das raízes:
u cdot u + 2u cdot v + v cdot v = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v

Passo 6

Subtraindo u cdot u e v cdot v dos dois lados, sobra:
2u cdot v = -2u cdot v

Passo 7

Somando 2u cdot v nos dois lados:
4u cdot v = 0

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 4:
u cdot v = 0

Passo 9

Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares.

Resposta

Portanto, |u + v| = |u - v| se e somente se os vetores u e v são perpendiculares.

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