Prove que:
os vetores são perpendiculares
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação que diz que a magnitude da soma de dois vetores é igual à magnitude da diferença dos mesmos vetores se e somente se eles forem perpendiculares. Vamos usar conceitos de vetores e produto interno (ou produto escalar) para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a magnitude de um vetor. Se temos um vetor
, a magnitude é dada por
. Aqui,
representa o produto escalar do vetor consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular as magnitudes de
e
. Usando a fórmula da magnitude:
Passo 4
Vamos expandir os produtos escalares:
Passo 5
Como a gente quer que
, vamos igualar as expressões dentro das raízes:
Passo 6
Subtraindo
e
dos dois lados, sobra:
Passo 7
Somando
nos dois lados:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 9
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares.
Resposta
Portanto,
se e somente se os vetores
e
são perpendiculares.