Calcule as expressões vetoriais abaixo.
50 v-8 v+[(-2 u-v)(u-4 v)](u+v), onde u=(12,-9,1) e v=(-3,4,-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão vetorial juntos! O enunciado nos pede para calcular a expressão:
50 v - 8 v + [(-2 u - v) cdot (u - 4 v)](u + v)
Aqui, estamos lidando com operações de vetores, incluindo soma, multiplicação por escalar e produto escalar (dot product). Vamos precisar somar vetores, multiplicar vetores por números (escalares) e calcular o produto escalar entre dois vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte inicial da expressão que envolve apenas a soma e subtração de vetores:
50 v - 8 v
Como estamos subtraindo vetores que são múltiplos um do outro, podemos simplesmente subtrair os coeficientes:
50 v - 8 v = (50 - 8) v = 42 v
Então, nossa expressão fica:
42 v + [(-2 u - v) cdot (u - 4 v)](u + v)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dentro dos colchetes:
(-2 u - v) cdot (u - 4 v)
Primeiro, vamos distribuir os termos:
(-2 u) cdot u + (-2 u) cdot (-4 v) + (-v) cdot u + (-v) cdot (-4 v)
Calculando cada produto escalar:
  1. (-2 u) cdot u = -2 (u cdot u) = -2 |u|^2
  2. (-2 u) cdot (-4 v) = 8 (u cdot v)
  3. (-v) cdot u = - (v cdot u)
  4. (-v) cdot (-4 v) = 4 (v cdot v) = 4 |v|^2
Então, somando tudo:
-2 |u|^2 + 8 (u cdot v) - (u cdot v) + 4 |v|^2 = -2 |u|^2 + 7 (u cdot v) + 4 |v|^2
Agora, vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, encontramos o produto escalar u cdot v e as magnitudes |u|^2 e |v|^2.
Dados:
u = (12, -9, 1)
v = (-3, 4, -6)
Calculando u cdot v:
u cdot v = (12)(-3) + (-9)(4) + (1)(-6) = -36 - 36 - 6 = -78
Calculando |u|^2:
|u|^2 = 12^2 + (-9)^2 + 1^2 = 144 + 81 + 1 = 226
Calculando |v|^2:
|v|^2 = (-3)^2 + 4^2 + (-6)^2 = 9 + 16 + 36 = 61
Substituindo de volta:
-2 times 226 + 7 times (-78) + 4 times 61 = -452 - 546 + 244 = -754
Então, o produto escalar é -754.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar esse escalar pelo vetor (u + v):
-754 (u + v)
Primeiro, somamos os vetores u e v:
u + v = (12 + (-3), -9 + 4, 1 + (-6)) = (9, -5, -5)
Multiplicando por -754:
-754 times (9, -5, -5) = (-754 times 9, -754 times (-5), -754 times (-5)) = (-6786, 3770, 3770)

Passo 5

Finalmente, vamos somar 42 v com o vetor que acabamos de calcular:
42 v + (-6786, 3770, 3770)
Calculando 42 v:
42 times (-3, 4, -6) = (-126, 168, -252)
Agora, somamos os vetores:
(-126, 168, -252) + (-6786, 3770, 3770) = (-126 - 6786, 168 + 3770, -252 + 3770) = (-6912, 3938, 3518)

Resposta

A expressão vetorial calculada resulta no vetor:
boxed(-6912, 3938, 3518)

Exercícios relacionados