Considere a reta r que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Determine uma equação vetorial da reta, um conjunto de equações paramétricas da reta, um conjunto de equações simétricas da reta e as equações reduzidas da reta.
Determine uma equação vetorial da reta, um conjunto de equações paramétricas da reta, um conjunto de equações simétricas da reta e as equações reduzidas da reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que fala sobre uma reta no espaço tridimensional. A reta r passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço, para determinar diferentes formas de representar essa reta: a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e as equações reduzidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial de uma reta. Essa equação descreve todos os pontos da reta a partir de um ponto conhecido e de um vetor diretor.
A fórmula geral da equação vetorial de uma reta é:
onde:
-
é o vetor posição de um ponto qualquer na reta. -
é o vetor posição do ponto conhecido (neste caso, ). -
é o vetor diretor da reta ( ). -
é um parâmetro real que varia.
Vamos aplicar esses valores na fórmula.
Passo 3
Agora, vamos elaborar as equações paramétricas da reta. Essa forma expressa as coordenadas de qualquer ponto na reta em função de um parâmetro, que geralmente é representado por
.
A equação vetorial
traduz-se, para as componentes, em:
onde
é o ponto conhecido e
são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:
Essas são as equações paramétricas da reta r.
Passo 4
Vamos agora determinar as equações simétricas da reta. Esse tipo de equação elimina o parâmetro
das equações paramétricas, relacionando diretamente as coordenadas
,
e
.
A partir das equações paramétricas:
Essa é a forma das equações simétricas da reta r.
Passo 5
Por fim, vamos obter as equações reduzidas da reta. Essas equações também relacionam as coordenadas
,
e
sem o parâmetro
, mas de uma forma um pouco diferente das equações simétricas.
A equação reduzida da reta no espaço pode ser escrita relacionando duas das equações simétricas. Por exemplo:
Essas são as equações reduzidas da reta r.
Resposta
Equação vetorial da reta r:
Equações paramétricas da reta r:
Equações simétricas da reta r:
Equações reduzidas da reta r:
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Prove que:
os vetores são perpendiculares
Calcule os ângulos internos dos triângulos cujos vértices são:
e
Determine as equações vetoriais dos segmentos de reta que formam o triângulo de vértices
e
Considere a equação geral do plano
.
Calcule dois pontos que pertencem ao plano .
Calcule dois pontos que pertencem ao plano