Considere a reta r que passa pelo ponto (-5,-3,8) e tem a direção do vetor (2,-9,18).
Determine uma equação vetorial da reta, um conjunto de equações paramétricas da reta, um conjunto de equações simétricas da reta e as equações reduzidas da reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que fala sobre uma reta no espaço tridimensional. A reta r passa pelo ponto (-5, -3, 8) e tem a direção do vetor (2, -9, 18). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço, para determinar diferentes formas de representar essa reta: a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e as equações reduzidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial de uma reta. Essa equação descreve todos os pontos da reta a partir de um ponto conhecido e de um vetor diretor.
A fórmula geral da equação vetorial de uma reta é:
r = r0 + t cdot v
onde:
  • r é o vetor posição de um ponto qualquer na reta.
  • r0 é o vetor posição do ponto conhecido (neste caso, (-5, -3, 8)).
  • v é o vetor diretor da reta ( (2, -9, 18)).
  • t é um parâmetro real que varia.
Vamos aplicar esses valores na fórmula.

Passo 3

Agora, vamos elaborar as equações paramétricas da reta. Essa forma expressa as coordenadas de qualquer ponto na reta em função de um parâmetro, que geralmente é representado por t.
A equação vetorial r = r0 + t cdot v traduz-se, para as componentes, em:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = z0 + c t
onde (x0, y0, z0) é o ponto conhecido e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:
x = -5 + 2t
y = -3 - 9t
z = 8 + 18t
Essas são as equações paramétricas da reta r.

Passo 4

Vamos agora determinar as equações simétricas da reta. Esse tipo de equação elimina o parâmetro t das equações paramétricas, relacionando diretamente as coordenadas x, y e z.
A partir das equações paramétricas:
t = x + 52 = y + 3-9 = z - 818
Essa é a forma das equações simétricas da reta r.

Passo 5

Por fim, vamos obter as equações reduzidas da reta. Essas equações também relacionam as coordenadas x, y e z sem o parâmetro t, mas de uma forma um pouco diferente das equações simétricas.
A equação reduzida da reta no espaço pode ser escrita relacionando duas das equações simétricas. Por exemplo:
x + 52 = z - 818
y + 3-9 = z - 818
Essas são as equações reduzidas da reta r.

Resposta

Equação vetorial da reta r:
r = (-5, -3, 8) + t cdot (2, -9, 18)
Equações paramétricas da reta r:
x = -5 + 2t
y = -3 - 9t
z = 8 + 18t
Equações simétricas da reta r:
x + 52 = y + 3-9 = z - 818
Equações reduzidas da reta r:
x + 52 = z - 818
y + 3-9 = z - 818

Exercícios relacionados