Calcule, aproximadamente, por meio de diferenciais,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular, de forma aproximada usando diferenciais, a expressão
. Esse exercício envolve conceitos de diferenciais e aproximações lineares. Para resolver, vamos usar a ideia de que pequenas variações em torno de valores conhecidos podem ser estimadas usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar valores próximos que a gente conhece bem. Observa que:
-
porque . -
porque .
Então, podemos considerar que 26,98 está bem perto de 27 e 36,04 está bem perto de 36. Vamos chamar essas pequenas diferenças de:
Passo 3
Agora, vamos usar os diferenciais para aproximar as funções.
Para a função
perto de
, a derivada é:
Em
, fica:
Então, a variação aproximada em
é:
Portanto:
Passo 4
Para a função
perto de
, a derivada é:
Em
, fica:
Então, a variação aproximada em
é:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as aproximações que encontramos:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
Aproximadamente,
.
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para os valores de
dados:
(a)
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), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função
?
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é
.
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário