(a) sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k=34

Passo 1

Beleza, temos uma soma infinita aqui que envolve as potências de 3 e 5 divididas por potências de 15. Isso está dentro do conteúdo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes para facilitar:
sumk=1^+infty 3^k15^k + sumk=1^+infty 5^k15^k

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
Para a primeira soma:
3^k15^k = (315)^k = (15)^k
Para a segunda soma:
5^k15^k = (515)^k = (13)^k

Passo 4

Então, nossa soma fica assim:
sumk=1^+infty (15)^k + sumk=1^+infty (13)^k

Passo 5

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumk=1^+infty r^k = r1 - r
onde |r| < 1.

Passo 6

Aplicando a fórmula para cada parte:
Para (15)^k:
sumk=1^+infty (15)^k = 151 - 15 = 1545 = 14
Para (13)^k:
sumk=1^+infty (13)^k = 131 - 13 = 1323 = 12

Passo 7

Somando as duas partes:
14 + 12 = 14 + 24 = 34

Resposta

sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k = 34

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