Em que direção seguir, começando do ponto ( 1,0,0 ), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função f(x, y, z) = x * y * e^(z) + y * z * e^(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a direção que nos dá a taxa mais rápida de crescimento da função , começando no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior aumento.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E por último, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente com essas derivadas:

Passo 5

Em seguida, precisamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Simplificando:

Passo 6

O vetor gradiente no ponto é . Isso significa que a direção de maior aumento da função nesse ponto é na direção do eixo .

Resposta

A direção que proporciona a taxa mais rápida de crescimento da função no ponto é na direção do vetor , ou seja, ao longo do eixo .

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