Em que direção seguir, começando do ponto (
), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a direção que nos dá a taxa mais rápida de crescimento da função
, começando no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior aumento.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E por último, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor gradiente com essas derivadas:
Passo 5
Em seguida, precisamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Simplificando:
Passo 6
O vetor gradiente no ponto
é
. Isso significa que a direção de maior aumento da função nesse ponto é na direção do eixo
.
Resposta
A direção que proporciona a taxa mais rápida de crescimento da função
no ponto
é na direção do vetor
, ou seja, ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Calcule, aproximadamente, por meio de diferenciais,
.
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dados:
A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano
é
.
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário
Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da funçāo
.