Em que direção seguir, começando do ponto ( ), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a direção que nos dá a taxa mais rápida de crescimento da função , começando no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior aumento.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E por último, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente com essas derivadas:

Passo 5

Em seguida, precisamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Simplificando:

Passo 6

O vetor gradiente no ponto é . Isso significa que a direção de maior aumento da função nesse ponto é na direção do eixo .

Resposta

A direção que proporciona a taxa mais rápida de crescimento da função no ponto é na direção do vetor , ou seja, ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Calcule, aproximadamente, por meio de diferenciais, .
Desenhar as curvas de nível para os valores de dados:
A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano é .
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .
Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da funçāo .