Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar as curvas de nível
para a função
com os valores de
. Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis, onde curvas de nível ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes alturas
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
no plano onde a função
tem o mesmo valor constante
. Ou seja, para cada
, a curva de nível
é definida por
.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem
para cada valor de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
.
Passo 5
Portanto, para cada valor de
, a curva de nível
é um círculo centrado na origem com raio igual a
. Vamos listar para cada
:
- Para
: → Apenas o ponto . - Para
: → Círculo de raio 1. - Para
: → Círculo de raio 2. - Para
: → Círculo de raio 3. - Para
: → Círculo de raio 4. - Para
: → Círculo de raio 5.
Resposta
As curvas de nível
para
são círculos centrados na origem com raios iguais a
. Em outras palavras:
Exercícios relacionados
(a)
Calcule, caso exista:
l)
l)
Calcule, aproximadamente, por meio de diferenciais,
.
Em que direção seguir, começando do ponto (
), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função
?