A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano é .
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa retangular onde a densidade em qualquer ponto é dada por . A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação dessa densidade no ponto na direção de um vetor unitário específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela nos mostra como uma função muda em um determinado ponto quando nos movemos em uma direção específica. Matematicamente, a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função, e “ ” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
De forma similar, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos montar o vetor gradiente no ponto substituindo e :
Calculando o denominador:
Então:
E como , temos:

Passo 6

Agora, vamos identificar o vetor unitário na direção dada. O vetor é:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Calculando cada termo:
Somando os dois resultados:

Resposta

A taxa de variação da densidade no ponto na direção do vetor dado é .

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