A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano
é
.
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário
.
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa retangular onde a densidade em qualquer ponto
é dada por
. A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação dessa densidade no ponto
na direção de um vetor unitário específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela nos mostra como uma função muda em um determinado ponto quando nos movemos em uma direção específica. Matematicamente, a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função, e “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
De forma similar, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos montar o vetor gradiente no ponto
substituindo
e
:
Calculando o denominador:
Então:
E como
, temos:
Passo 6
Agora, vamos identificar o vetor unitário na direção dada. O vetor é:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Calculando cada termo:
Somando os dois resultados:
Resposta
A taxa de variação da densidade no ponto
na direção do vetor dado é
.
Exercícios relacionados
Em que direção seguir, começando do ponto (
), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função
?
Calcule, aproximadamente, por meio de diferenciais,
.
Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da funçāo
.
(m) ( ) Se
converge, então
converge;