Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Para saber se a série converge, precisamos ver o comportamento desse termo quando
fica muito grande (ou seja, quando
tende ao infinito).
Passo 3
Um passo importante é verificar o limite do termo geral quando
vai para o infinito. Se esse limite não for zero, a série diverge. Então, vamos calcular:
Passo 4
Para resolver esse limite, podemos usar uma propriedade dos limites envolvendo exponenciais. Sabemos que:
Mas aqui temos
. Vamos reescrever isso para usar a propriedade:
Passo 5
Agora, analisamos o que acontece com
quando
tende ao infinito. Usando a propriedade mencionada:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Portanto,
Passo 7
O fato de o limite do termo geral ser zero é necessário para a convergência da série, mas não é suficiente. Precisamos aplicar mais um teste para confirmar a convergência. Vamos usar o Teste da Comparação.
Passo 8
Observamos que
é uma séries geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que uma série geométrica converge se
. Como
para todo
, e
converge, então nossa série original também converge por comparação.
Resposta
A série
converge.
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Resolva, em
, as seguintes equações:
Calcule
Esboce os gráficos das seguintes funções:
Esboce os gráficos das seguintes funções: