Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty(1-2n)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: . Para saber se a série converge, precisamos ver o comportamento desse termo quando fica muito grande (ou seja, quando tende ao infinito).

Passo 3

Um passo importante é verificar o limite do termo geral quando limn to infty (1 - 2n)^n^2 vai para o infinito. Se esse limite não for zero, a série diverge. Então, vamos calcular:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos usar uma propriedade dos limites envolvendo exponenciais. Sabemos que:
limn to infty (1 + xn)^n = e^x
Mas aqui temos (1 - 2n)^n^2 = [(1 - 2n)^n]^n . Vamos reescrever isso para usar a propriedade:

Passo 5

Agora, analisamos o que acontece com limn to infty (1 - 2n)^n = e^-2 quando [(1 - 2n)^n]^n approx (e^-2)^n = e^-2n tende ao infinito. Usando a propriedade mencionada:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty e^-2n = 0 quando limn to infty (1 - 2n)^n^2 = 0 vai para o infinito:
Portanto,

Passo 7

O fato de o limite do termo geral ser zero é necessário para a convergência da série, mas não é suficiente. Precisamos aplicar mais um teste para confirmar a convergência. Vamos usar o Teste da Comparação.

Passo 8

Observamos que é uma séries geométrica com razão , que é menor que 1. Sabemos que uma série geométrica converge se . Como para todo , e converge, então nossa série original também converge por comparação.

Resposta

A série converge.

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