Calcule a área abaixo da curva y, passando pelas retas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área que está por baixo da curva definida por
, entre as retas
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função que estamos lidando:
. Isso significa que para cada valor de
,
é a raiz quadrada de
. Nosso objetivo é encontrar a área entre essa curva e as linhas verticais
e
.
Passo 3
Para calcular essa área, usamos a integração definida. A integral definida nos dá o valor exato da área sob a curva entre dois pontos. A fórmula básica é:
onde
e
são os limites de integração, que neste caso são 0 e 8.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de
.
Passo 5
Sabemos que
pode ser escrita como
. A regra para integrar uma função dessa forma é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 8:
Isso significa que vamos calcular a expressão para
e subtrair o valor quando
.
Passo 7
Calculando para
:
E para
:
Passo 8
Subtraindo os dois valores:
Resposta
A área abaixo da curva
entre
e
é
unidades de área.
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a)
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c)
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