Calcule a área abaixo da curva y, passando pelas retas:
a) y = raiz(x + 1), x = 0 ; x = 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área que está por baixo da curva definida por , entre as retas e . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função que estamos lidando: . Isso significa que para cada valor de , é a raiz quadrada de . Nosso objetivo é encontrar a área entre essa curva e as linhas verticais e .

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a integração definida. A integral definida nos dá o valor exato da área sob a curva entre dois pontos. A fórmula básica é:
Á
onde e são os limites de integração, que neste caso são 0 e 8.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
Á
Agora, precisamos encontrar a antiderivada de .

Passo 5

Sabemos que pode ser escrita como . A regra para integrar uma função dessa forma é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 8:
Á
Isso significa que vamos calcular a expressão para e subtrair o valor quando .

Passo 7

Calculando para :
E para :

Passo 8

Subtraindo os dois valores:
Á

Resposta

A área abaixo da curva entre e é unidades de área.

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c)
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