Calcule as integrais definidas
c) integral0^1 z(z^2+1)^3 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais racionais que envolvem funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando o denominador , percebemos que o termo é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = z^2 + 1
Agora, derivamos ambos os lados em relação a dudz = 2z para encontrar du = 2z , dz :
z , dz = du2
Podemos rearranjar para expressar :

Passo 4

Substituindo integral0^1 z(z^2+1)^3 , dz = integralu(0)^u(1) du2u^3 e 12 integralu(0)^u(1) u^-3 , du na integral original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C em relação a 12 ( -12u^2 ) = -14u^2 :
Multiplicando pela constante de antes:

Passo 6

Agora, substituímos -14(z^2 + 1)^2 de volta para [ -14(z^2 + 1)^2 ]0^1 = -14(1^2 + 1)^2 - ( -14(0^2 + 1)^2 ) :
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de a :

Resposta

Fazendo as contas:
-14(2)^2 + 14(1)^2 = -116 + 14 = 316
Então, o valor da integral é .

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