Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área abaixo do gráfico da função no intervalo de . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a determinar áreas sob curvas. O que vamos precisar é calcular uma integral definida dessa função nesse intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral que representa a área que queremos calcular. A integral definida de uma função de até é dada por:
Á
No nosso caso, , e . Então, nossa integral fica assim:
Á

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando temos um produto de duas funções, como é o caso de . A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar e na nossa integral:
  • Escolha (porque ao derivar, simplifica).
  • Então, .
  • E , o que implica que .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula:
Vamos calcular a integral que sobrou:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, podemos calcular a integral definida de a :
Á
Vamos resolver cada parte:
  • Para :
  • Para :

Resposta

Subtraindo os resultados:
Então, a área abaixo do gráfico da função no intervalo de é 1.

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Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. .
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .