Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área abaixo do gráfico da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a determinar áreas sob curvas. O que vamos precisar é calcular uma integral definida dessa função nesse intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a integral que representa a área que queremos calcular. A integral definida de uma função
de
até
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então, nossa integral fica assim:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando temos um produto de duas funções, como é o caso de
. A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar
e
na nossa integral:
- Escolha
(porque ao derivar, simplifica). - Então,
. - E
, o que implica que .
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula:
Vamos calcular a integral que sobrou:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos a antiderivada, podemos calcular a integral definida de
a
:
Vamos resolver cada parte:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Subtraindo os resultados:
Então, a área abaixo do gráfico da função
no intervalo de
é 1.
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Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
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Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
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