Calcule, se possível, as integrais impróprias: integral4^infty e^-y / 2 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria . Isso está relacionado ao cálculo de integrais que vão até o infinito, algo que a gente aprende no estudo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e entender o conceito de limite quando a variável se aproxima do infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar a função . A integral de uma função do tipo é , certo? Aqui, . Então, a antiderivada de é .

Passo 3

Agora, aplicamos o limite para resolver a integral imprópria. Isso significa que vamos calcular:
limb to infty [ -2 e^-b / 2 - (-2 e^-4 / 2) ]
Simplificando dentro do limite:
limb to infty [ -2 e^-b / 2 + 2 e^-2 ]

Passo 4

Vamos agora avaliar o limite. Quando -2 times 0 + 2 e^-2 = 0 + 2 e^-2 = 2 e^-2 tende ao infinito, tende a zero, porque a exponencial negativa faz a função decair para zero. Assim, temos:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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