Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa desenhar a região que fica entre as duas curvas dadas, decidir se é melhor integrar em relação a ou a , e então calcular a área dessa região. As curvas que vamos analisar são:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. Ambas são equações de parábolas que abrem para o lado direito no plano . A diferença está nos coeficientes e constantes.
Para saber qual curva está à esquerda ou à direita, vamos comparar os valores de para cada .
Passo 3
Antes de decidir qual variável usar para a integração, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso nos dará os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:
Isso significa que as curvas se intersectam nos pontos onde e .
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos decidir se vamos integrar em relação a ou a . Observando as equações, ambas estão resolvidas para em termos de , o que facilita a integração em relação a .
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Onde e são os limites de integração (neste caso, e ).
Passo 6
Identificamos qual das curvas está mais à direita (maior valor de ) e qual está mais à esquerda (menor valor de ) no intervalo considerado.
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Passo 9
Subtraindo os resultados:
Á
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.