Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
para facilitar a integração. Sabemos que
(essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos escrever:
Passo 3
Substituindo isso na integral, temos:
Distribuindo o
:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral
usando substituição. Se deixarmos
, então a derivada de
em relação a
é:
Observamos que temos
na nossa integral, que corresponde exatamente a
. Então, reescrevemos a integral:
Passo 5
Agora, a segunda integral
também podemos resolver pela substituição
, então:
Passo 6
Juntando as duas partes, temos:
Resposta
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Encontre o valor médio das funções no intervalo dado.
.
Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.