Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever para facilitar a integração. Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos escrever:

Passo 3

Substituindo isso na integral, temos:
Distribuindo o :

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral usando substituição. Se deixarmos , então a derivada de em relação a é:
Observamos que temos na nossa integral, que corresponde exatamente a . Então, reescrevemos a integral:

Passo 5

Agora, a segunda integral também podemos resolver pela substituição , então:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:

Resposta

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Encontre o valor médio das funções no intervalo dado. .
Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .