Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas: integral tg^3 x sec (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3x = tan x cdot tan^2x = tan x (sec^2x - 1) para facilitar a integração. Sabemos que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos escrever:

Passo 3

Substituindo isso na integral, temos:
integral tan^3x sec(x) , dx = integral tan x (sec^2x - 1) sec(x) , dx
Distribuindo o = integral tan x sec^3x , dx - integral tan x sec(x) , dx :

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral du = sec x tan x , dx usando substituição. Se deixarmos integral tan x sec^3x , dx = integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3x3 + C , então a derivada de em relação a é:
Observamos que temos na nossa integral, que corresponde exatamente a . Então, reescrevemos a integral:

Passo 5

Agora, a segunda integral integral tan x sec(x) , dx = integral du = u + C = sec x + C também podemos resolver pela substituição , então:

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
integral tan^3x sec(x) , dx = ( sec^3x3 ) - sec x + C

Resposta

integral tan^3x sec(x) , dx = sec^3x3 - sec x + C

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