Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que calcular a área que está abaixo do gráfico da função
no intervalo de
a
. Isso envolve usar cálculo, especificamente integrais definidas, para encontrar a área sob a curva dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para calcular a área sob uma curva entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral definida nos dá a área entre o gráfico da função e o eixo
no intervalo que a gente especificou, que nesse caso é de
a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral que representa essa área. A função que vamos integrar é
, e queremos integrar de
a
. Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde a gente troca uma parte da integral por uma nova variável para simplificar a resolução.
Vamos escolher:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos na integral:
Integrando
:
Agora, voltamos para a variável
:
Passo 6
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área abaixo do gráfico da função
no intervalo de
a
é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
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Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
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