Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas ,
,
e
. Além disso, precisamos decidir se vamos integrar em relação a
ou a
para calcular a área dessa região. Então, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo de
até
. A função começa em 0 quando
e atinge 1 em
. Já a função
é uma função exponencial que também começa em 1 quando
e cresce rapidamente conforme
aumenta. Vamos plotar essas duas curvas para visualizar melhor.
Passo 3
Observando os gráficos, percebemos que entre
e
, a função
está sempre acima da . Como queremos encontrar a área entre essas duas curvas, a diferença entre elas nos dará a altura da região que estamos calculando.
Passo 4
Decidimos integrar em relação a
porque as funções estão expressas em termos de
em função de
, o que facilita a configuração da integral. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui,
e , e os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na expressão da área:
Sabendo que
,
e
, temos:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Uma força age sobre uma partícula segundo a função abaixo. A partícula está localizada a uma distância de
metros da origem. Calcule o trabalho realizado pela força para mover um objeto da origem até 8 metros.