Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Calcule a área da região. y = sen(x), y = e^x, x = 0, x = pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas , , e . Além disso, precisamos decidir se vamos integrar em relação a ou a para calcular a área dessa região. Então, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo de até . A função começa em 0 quando e atinge 1 em . Já a função é uma função exponencial que também começa em 1 quando e cresce rapidamente conforme aumenta. Vamos plotar essas duas curvas para visualizar melhor.

Passo 3

Observando os gráficos, percebemos que entre e , a função está sempre acima da . Como queremos encontrar a área entre essas duas curvas, a diferença entre elas nos dará a altura da região que estamos calculando.

Passo 4

Decidimos integrar em relação a porque as funções estão expressas em termos de em função de , o que facilita a configuração da integral. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são de até .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta na expressão da área:
Á
Sabendo que , e , temos:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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