Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área abaixo do gráfico da função
no intervalo onde
varia de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, que usamos para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar funções e aplicar os limites de integração corretos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Para facilitar a integração, é comum reescreveremos essa função de forma que
esteja em termos de
. Então, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Agora, a função está na forma
, o que é mais familiar para integrações.
Passo 3
Sabemos que para encontrar a área sob uma curva
entre
e
, usamos a integral definida:
No nosso caso, a função é
, e precisamos determinar os limites de integração para
.
Passo 4
O enunciado nos dá que
varia de 0 a 1. Como
, podemos encontrar os limites de
correspondentes:
Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 5
Agora que temos a função e os limites de integração, podemos montar a integral para calcular a área:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 a 1, não precisamos nos preocupar com a constante
.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área abaixo do gráfico da função
no intervalo
é
unidades de área.
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