Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área abaixo do gráfico da função no intervalo onde varia de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração, que usamos para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar funções e aplicar os limites de integração corretos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Para facilitar a integração, é comum reescreveremos essa função de forma que esteja em termos de . Então, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Agora, a função está na forma , o que é mais familiar para integrações.

Passo 3

Sabemos que para encontrar a área sob uma curva entre e , usamos a integral definida:
Á
No nosso caso, a função é , e precisamos determinar os limites de integração para .

Passo 4

O enunciado nos dá que varia de 0 a 1. Como , podemos encontrar os limites de correspondentes:
Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 5

Agora que temos a função e os limites de integração, podemos montar a integral para calcular a área:
Á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

A integral de em relação a é:
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 a 1, não precisamos nos preocupar com a constante .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Á

Resposta

A área abaixo do gráfico da função no intervalo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Calcule as integrais utilizando frações parciais:
Calcule as integrais utilizando integrais por partes:
Calcule as integrais utilizando integrais por partes: