Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Passo 1
Então, vamos resolver a integral
. Estamos lidando com cálculo de integrais usando substituições trigonométricas. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão, especialmente a parte que envolve
.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos
no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa raiz. Vamos considerar a substituição
. Essa escolha é porque
, o que facilitará a simplificação da raiz.
Passo 3
Com a substituição
, calculamos
:
Também, substituindo na expressão original:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando os termos:
Ou seja:
Passo 5
Vamos simplificar a integral de
. Sabemos que
pode ser integrado usando a substituição
, já que
.
Passo 6
Fazendo a substituição
, então
. Reescrevemos a integral:
Mas como
e
, temos:
Passo 7
Para resolver
, fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos de volta
:
Passo 9
Lembrando que
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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.
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