Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas: integral x^5raizx^2+2 d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Estamos lidando com cálculo de integrais usando substituições trigonométricas. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão, especialmente a parte que envolve .

Passo 2

Primeiro, observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa raiz. Vamos considerar a substituição . Essa escolha é porque , o que facilitará a simplificação da raiz.

Passo 3

Com a substituição dx = raiz2 sec^2 theta , dtheta , calculamos raizx^2 + 2 = raiz2 tan^2 theta + 2 = raiz2 (tan^2 theta + 1) = raiz2 sec theta :
Também, substituindo na expressão original:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral:
integral (raiz2 tan theta)^5raiz2 sec theta cdot raiz2 sec^2 theta , dtheta
Simplificando os termos:
integral 2^5/2 tan^5 theta2^1/2 sec theta cdot 2^1/2 sec^2 theta , dtheta = 2^2 integral tan^5 theta cdot sec theta , dtheta
Ou seja:
4 integral tan^5 theta sec theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a integral de . Sabemos que pode ser integrado usando a substituição , já que .

Passo 6

Fazendo a substituição 4 integral u^5 cdot dusec^2 theta , então 4 integral u^51 + u^2 , du . Reescrevemos a integral:
Mas como e , temos:

Passo 7

Para resolver u^51 + u^2 = u^3 - u , fazemos a divisão polinomial:
4 integral (u^3 - u) , du = 4 ( u^44 - u^22 ) + C = u^4 - 2u^2 + C
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, substituímos de volta u^4 - 2u^2 + C = tan^4 theta - 2 tan^2 theta + C :

Passo 9

Lembrando que tan theta = xraiz2 e tan^2 theta = x^22 , podemos expressar ( x^22 )^2 - 2 ( x^22 ) + C = x^44 - x^2 + C em termos de :
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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