Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Estamos lidando com cálculo de integrais usando substituições trigonométricas. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão, especialmente a parte que envolve .

Passo 2

Primeiro, observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa raiz. Vamos considerar a substituição . Essa escolha é porque , o que facilitará a simplificação da raiz.

Passo 3

Com a substituição , calculamos :
Também, substituindo na expressão original:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando os termos:
Ou seja:

Passo 5

Vamos simplificar a integral de . Sabemos que pode ser integrado usando a substituição , já que .

Passo 6

Fazendo a substituição , então . Reescrevemos a integral:
Mas como e , temos:

Passo 7

Para resolver , fazemos a divisão polinomial:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, substituímos de volta :

Passo 9

Lembrando que , podemos expressar em termos de :
Substituindo na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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