Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral e^-2 x cdot sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte integral para resolver usando integração por partes:
integral e^-2x cdot sin x , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes e depois resolver uma equação para encontrar a integral desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher partes da nossa integral original para serem e , de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = e^-2x Rightarrow du = -2 e^-2x dx
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
Fizemos essas escolhas porque derivar simplifica a expressão e integrar é direto.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-2x sin x , dx = u cdot v - integral v , du
= e^-2x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot (-2 e^-2x) dx
= -e^-2x cos x - integral 2 e^-2x cos x , dx
Agora, temos uma nova integral: . Precisamos resolver essa também, e para isso, vamos aplicar integração por partes de novo.

Passo 5

Para a nova integral u = e^-2x Rightarrow du = -2 e^-2x dx , vamos escolher:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral 2 e^-2x cos x , dx = 2 ( u cdot v - integral v , du )
= 2 ( e^-2x sin x - integral sin x cdot (-2 e^-2x) dx )
= 2 e^-2x sin x + 4 integral e^-2x sin x , dx
Agora, observamos que a integral aparece novamente. Vamos chamar essa integral de para facilitar.

Passo 7

Vamos organizar tudo:
I = integral e^-2x sin x , dx = -e^-2x cos x - ( 2 e^-2x sin x + 4 I )
I = -e^-2x cos x - 2 e^-2x sin x - 4 I
Agora, vamos juntar os termos com I + 4 I = -e^-2x cos x - 2 e^-2x sin x :
5 I = -e^-2x (cos x + 2 sin x)

Passo 8

Finalmente, isolando I = -e^-2x (cos x + 2 sin x)5 :
I = -e^-2x (cos x + 2 sin x)5 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral resolvida por partes é:
integral e^-2x sin x , dx = -e^-2x (cos x + 2 sin x)5 + C

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